Equations cartésiennes

[Edelwhën]

Bonjour,

J'ai un gros souci concernant un exercice que je dois faire pour un DM car je ne connais pas trop les équations cartésiennes et que je n'étais pas là pendant le cours où mon professeur de maths l'a expliqué. J'espère donc que vous pourrez m'aider. Même si les questions ne sont pas toutes sur les équations cartésiennes, j'ai du mal à trouver les réponses. L'exercice est le suivant :

Soit ABCD un trapèze tel que (AB) soit parallèle à (CD). Soit M le point d'intersection des droites (AD) et (BC). Soit I le milieu du côté [AB] et J le milieu du côté [CD]. On nomme K le point d'intersection des diagonales [AC] et [bD].

On veut démontrer que M,I,J,K sont alignés.

a. Justifier que (A ; vecteur AB ; vecteur AD ) est un repère.

b. Donner les coordonnées de A, B, D et I dans ce repère.

c. On nomme "a" l'abscisse du point C dans le repère (A ; vecteur AB ; vecteur AD). Déterminer, en fonction de "a", les coordonnées de C et de J.

d. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC) et en déduire les coordonnées de M.

e. Montrer que les points M, I, J sont alignés.

f. Déterminer une équation cartésienne de (BD) et de (AC). En déduire les coordonnées de K.

g. Conclure.

Voilà, donc si vous avez des explications et des réponses à me donner, n'hésitez pas, ça m'aiderait énormément ! Merci d'avance !

[Barbidoux]

Soit ABCD un trapèze tel que (AB) soit parallèle à (CD). Soit M le point d'intersection des droites (AD) et (BC). Soit I le milieu du côté [AB] et J le milieu du côté [CD]. On nomme K le point d'intersection des diagonales [AC] et [bD].

On veut démontrer que M,I,J,K sont alignés.

a. Justifier que (A ; vecteur AB ; vecteur AD ) est un repère.

AB et AD ne sont pas colinéraires

Deux vecteurs non colinéiares forment un repère dans le plan.

(A,AB,AD) forment un repère dans la quel AB et AD sont des vecteurs unitaires

b. Donner les coordonnées de A, B, D et I dans ce repère.

A0,0, B{1,0}, D{0,1} I{1/2,0}

c. On nomme "a" l'abscisse du point C dans le repère (A ; vecteur AB ; vecteur AD). Déterminer, en fonction de "a", les coordonnées de C et de J.

C{a,1} J{a/2,1}

d. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC) et en déduire les coordonnées de M.

L'équation réduite d'une droite dans un repère est y=k*x+d

La droite BC passe par B{1,0} ==> 0=k+d

La droite BC passe par C{a,1} ==> 1=k*a+d ==> k=1/(a-1) ==> d=-1/(a-1) ==> yCD= (x-1)/(a-1). M appartient à AD et son ordonnée est obtenue en faisant x=0 dans yAD ==> M{0,-1/(a-1)}

e. Montrer que les points M, I, J sont alignés.

MI{1/2,1/(a-1)

MJ{a/2,1+1/(a-1)} ==> MJ{a/2,a/(a-1}

Les coordonnées de MI et MJ étant proportionnelles les points M, I et J sont alignés.

f. Déterminer une équation cartésienne de (BD) et de (AC). En déduire les coordonnées de K.

La droite BD passe par B{1,0} ==> 0=k+d

La droite BD passe par D{0,1} ==> 1=d ==> k=-1==> yBD= -x+1

--------

La droite AC passe par A{0,0} ==> 0=d

La droite AC passe par C{a,1} ==> 1=a*k ==> k=-1/a==> yAC= x/a.

K est l'intersection des droites BD et AC c'est donc les solutions du système d'équation

yBD= -x+1

yAC= x/a ==> x/a=-x-1 ==> x= a/(a+1) et y=1/(a+1) ==> K{a/(a+1),1/(a+1)

------

MK{a/(a+1),1/(a+1)+1/(a-1)} ==> MK{{a/(a+1),2*a/((a+1)*(a-1))}

Les coordonnées de MK et de MJ les points MJK sont aligné et en conclusion on peut dire que M?I,J et K sont alignés

[Edelwhën]

Je suis vraiment désolée mais à partir du d. je décroche, j'ai pas compris comment vous déduisiez l'équation cartésienne des droites et comment on pouvait vérifier les points.

[Barbidoux]

L'équation réduite d'une droite est de la forme y=a*x+b où a et b sont des constantes. Pour déterminer les les valeurs de a et de b il faut connaître plusieurs caractéristiques de la droite. La pente et un point particulier de la droite ou deux point de cette droite.

Dans l'exercice présent on recherche l'équation d'une droite qui passe par deux points. Les coordonnées des deux points satisfaisant l'équation de la droite. Il suffit donc d'écrire que la droite passe par ces points pour pouvoir calculer les valeurs de a et b et donner l'équation de la droite.

Par exemple si tu veux établir l'équation de la droite qui passe par les point A{1,0} et B{0,1} tu écris que l'équation réduite de la droite recherchée est de la forme y=a*x+b

Cette droite passe par A{1,0} ses coordonnées vérifient donc son équation. Donc, tu remplaces x et y dans l'équation de la droite par les coordonnées de A ce qui donne 0=1*a+b soit une première relation entre a et b

Cette droite passe aussi par B ==> 1=0*a+b.

tu obtiens un système de deux équations à deux inconnues que tu résous

0=1*a+b ==> a=-b

1=0*a+b==> b=1 et l'équation de la droite AB que tu recherches est donc y=-x+1

[Edelwhën]

Oui mais dans l'exercice, on me demande une équation cartésienne, pas une équation réduite. Les équations réduites je sais les trouver mais pas les équations cartésiennes.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Une équation cartésienne du plan est une équation de la forme :

Pour tout x,y de R, ax + by + c = 0.

A partir de la forme réduite, tu dois facilement pourvoir nous donner la forme cartésienne.

[Edelwhën]

Je remplace a, b et y, et je cherche c avec les coordonnées d'un point en remplaçant x par l'abscisse du point c'est ça ?

[Boltzmann_Solver]

Faisons un exemple. Soit l'équation réduite y = 2x+3. Donne moi l'équation cartésienne.

[Edelwhën]

2x+3y+c = 0

[Boltzmann_Solver]

2x+3y+c = 0

[Edelwhën]

Donc c'est 2x+3y-y ?

[Boltzmann_Solver]

Donc c'est 2x+3y-y ?

[Edelwhën]

Une équation cartésienne c'est ax + by + c = 0 et l'équation réduite c'est y = ax+b donc je remplace a et b.

Vu que l'équation réduite c'est y = 2x +3, l'équation cartésienne c'est 2x + 3y = 0 ?

[Boltzmann_Solver]

Tu mélanges les identifications avec les substitutions.

Ici, on part de y = 2x+3 (forme réduite) => y-y = 2x+3-y => 2x-y+3 =0 (équation cartésienne)

[Edelwhën]

Ah d'accord j'ai compris, donc du coup quand j'ai une droite avec deux de ces points, je trouve l'équation réduite de la droite à l'aide des coordonnées des deux points et je soustraie par y pour trouver l'équation cartésienne, c'est ça ?

[Barbidoux]

Une équation cartésienne c'est a*x + b*y + c = 0 et l'équation réduite c'est y = ax+b donc je remplace a et b.

Vu que l'équation réduite c'est y = 2x +3, l'équation cartésienne c'est 2x + 3y = 0 ?

[Edelwhën]

D'accord là j'ai compris comment on faisait, merci !

Mais du coup, comment on fait pour trouver y dans l'équation cartésienne issue de l'équation réduite ?

[Boltzmann_Solver]

Ah d'accord j'ai compris, donc du coup quand j'ai une droite avec deux de ces points, je trouve l'équation réduite de la droite à l'aide des coordonnées des deux points et je soustraie par y pour trouver l'équation cartésienne, c'est ça ?

[Edelwhën]

Quand vous dites que (MN) est // à (Ox) ou (Oy), cela signifie qu'il est // à l'axe des abscisses ou des ordonnées, c'est ça ?

[Boltzmann_Solver]

Quand vous dites que (MN) est // à (Ox) ou (Oy), cela signifie qu'il est // à l'axe des abscisses ou des ordonnées, c'est ça ?

[Edelwhën]

D'accord, je pense avoir compris, j'essaierai de faire l'exercice et si j'ai un problème je refais appel à vous, merci beaucoup !

[Boltzmann_Solver]

You're welcome .

[L'Aigle]

Pouvez-vous ré-expliquer la question f svp