aire maximale

[laurence1]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire sur l'aire maximale. J'ai un peu du mal pourriez vous m'aider s'il vous plait. Merci

La figure est en pièce jointe

M est un point libre sur le segment [AB] de longueur 1. Les points P et Q sont situés dans le même demi-plan de frontière la droite (AB) et sont tels que les triangles AMP et MBQ soient équilatéraux.

On pose AM=x et on considère f la fonction donnant l'aire du triangle MPQ en fonction de x.

a) calculer l'aire du triangle MPQ

b) déterminer l'ensemble de définition de f

c) déterminer une expression de f(x)

d) conjecturer la position du point M qui rend maximale l'aire du triangle MPQ. Expliquer

Mes pistes de recherche :

aire d'un triangle : (b*h)/2

les angles d'un triangle équilatéral : 60 degrés

les triangles APM et MQB sont équilatéraux

AM =x / MB=1-x

[elp]

calculer l'aire ? déterminer une expression de f(x ) ensuite, je ne comprends pas trop l'enchainement des questions.

AMP équilatéral donc PM=AM=x

MBQ équilatéral donc MQ=MB=1-x

angle PMQ =angle AMB - angle AMP-angle QMB=180-60-60 =60

aire de PMQ=(1/2)*PM*MQ*sin(PMQ)=(1/2)x(1-x)*rac(3)/2=x(1-x)*rac(3)/4

x est compris entre 0 et 1 sinon M n'est plus entre A et B.

Conjecturer ?

Tu calcules pour différentes valeurs de x, tu verras que l'aire est maximale pour x = 1/2

à moins que tu n'utilises un logiciel de géométrie style géogébra

[laurence1]

merci de me répondre,

je ne comprend pas quelle est la formule pour aire de PMQ pourriez vous m'expliquer s'il vous plait

[pzorba75]

En complément de elp qui t'a donné tous les éléments pour répondre :

L'aire d'un triangle est égale au demi-produit de la hauteur par la base, soit en projetant P en H sur (MQ)

PH=x*sqrt(3)/2 (hauteur)

1-x (base)

Aire de MPQ 1/2*(1-x)*x*sqrt(3)/2=x(1-x)*rac(3)/4 formule donnée par elp, que je salue bien au passage.

Ensuite, tu précises le sens de variation de f(x), polynôme du second degré. Si tu as vu les dérivées, tu étudier le signe de la dérivée f'(x).

A toi de bien regarder cette démonstration.

[laurence1]

d'accord merci beaucoup