[TS] Devoir sur les suites numériques

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Bonjour,

J'ai un devoir maison à rendre et je ne comprend pas les résolutions.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Voici le DM :

Merci

[pzorba75]

Pour t'aider à démarrer cet exercice classique :

1 f(x)=(x+1)/(x+2)

f'(x)=(x+2-(x+1))/(x+2)^2=3/((x+2)^2 f'(x)>0 donc f est croissante sur[ 0 à +infy[

f(x)=x=> x+1=x^2+2x => x^2+x-1+ 0 la racine positive est (-1+sqrt(5))/2

pour 0<=x<(-1+sqrt(5))/2 la courbe de f est au dessus de la droite y=x

pour x>(-1+sqrt(5))/2 la courbe de f est au dessous de la droite y=x f donc f(x)<x

2

a u0=0 U1=1/2 U2=3/5 u3=8/13

b avec Excel on observe que u tend vers 0,61803399=(-1+sqrt(5))/2=alpha

c u0 et u1< 0,618 initialisé

hérédité un<(-1+sqrt(5))/2 u(n+1)=f(un)<un vrai au rang n+1 donc héréditaire

conclusion vrai pour tout n 0<=un<=alpha

d f est croissante donc u croissante

3 A toi de jouer, si tu as compris tu n'auras pas de difficulté pour terminer

[Barbidoux]

1----------------

f(x)=(x+1)/(x+2) définie sur I=[x≥0]

f'(x)=1/(x + 2) - (x + 1)/(x + 2)^2=1/(x + 2)^2 >0 qq soit x donc f(x) est une fonction croissante

f(x)-x=(x+1)/(x+2)-x=(x+1-x*(x+2))/(x+2)=(-x^2-x+1)/(x+2)

Le polynôme du second degré (-x^2-x+1) qui admet deux racines x=(-1-√5)/2 et x=(-1+√5)/2 est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines

x......................(-1-√5)/2.......................(-1-√5)/2.....................

f(x)-x......(-)........(0)................(+)..............(0)............(-)............

Conclusion : le graphe de f(x) est au dessus de celui de y=x pour x appartenant à ].(-1-√5)/2, (-1-√5)/2[

2a----------------

Lu={0, 1/2, 3/5, 8/13, 21/34, 55/89}

2b----------------

lu= {0, 0.5, 0.6, 0.615385, 0.617647, 0.617978, 0.618026, 0.618033, 0.618034, \

0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, \

0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, \

0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, \

0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034, \

0.618034, 0.618034, 0.618034, 0.618034}

u_n-> 0.618034=(-1+√5)/2

2c----------------

on pose a=(-1+√5)/2

u₀≤ a

u₁≤ a

u₂≤ a

---------

On suppose

u_n≤a

de la relation

u_n+1=(u_n+1)/(u_n+2) on déduit u_n+1=(u_n+1)/(u_n+2)≤ (a+1)/(a+2) ==> u_n+1-a=≤ (a+1)/(a+2)-a=(-a^2-a+1)/(a+2)=0/(a+2)=0 ==> u_n+1≤a

Le relation étant héréditaire, elle est vérifiée pour toute valeur de n

2d----------------

On a étudié en 1 la position relative de f(x) et de x et montré que f(x) ≥ x pour tout x appartenant à ].(-1-√5)/2, (-1-√5)/2[ et en particulier tout x appartenant à [0, (-1-√5)/2[ soit [0,a]. En posant f(x)=f(u_n)=u_n+1=(u_n+1)/(u_n+2) et x= un on peut donc en déduire que pour tout valeur de un appartenant à cet intervalle u_n+1≥ u_n donc que la suite un est croissante

[Barbidoux]

2c----------

explication de on déduit...

u_n+1=(u_n+1)/(u_n+2) on déduit u_n+1=(u_n+1)/(u_n+2)=1- 1/(u_n+2) ≤1-1/(a+2)=(a+1)/(a/2)

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Pourrais je avoir de l'aide pour le 3 SVP car il n'apparait pas sur votre reponse. Merci

[pzorba75]

Reprends la démonstration de la question 2 et tu trouveras que cette fois la suite (vn) est décroissante et tend vers (-1+sqrt(2))/2=0,618003399.

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Je reprend donc la demonstration de la question 2C ?

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Up SVP