Problème type bac

[Floby]

Bonjour,

J'avance dans le problème mais je bloque, sur le calcul d'une limite avec forme indéterminée

voici le sujet : http://nsm05.casimag...63299882285.png

J'ai réussi entièrement la partie A, la partie B j'ai réussi les questions 1, 3

pouvez vous m'apporter de l'aide pour la question 2 et la suite ?

Il faudrait dériver par le terme de plus haut degré mais je ne vois pas comment faire ..

merci d'avance

[Barbidoux]

Rapidement fait à vérifier quand même......

g(x)=x^2 - 2 ln(x) + 1

g'(x)=2*x-2/x=2*(x^2-1)/x

x........0................1.....................

g'(x)..........(-).......(0)......(+).......

g(x)......decrois.....Min....crois.......

g(0) -> ∞ et Min g(x)=g(1)=1 ==> g(x) >0 sur ]0, ∞[

B------------

f(x)=(1+1/x^2)ln(x)

on pose y=x^2 ==> x=√y

Lorsque x->0 alors y->0 et lim f(x)=(1+1/x^2)ln(x)=(1+1/y)ln(√y))=lim ln√y+(1/2)*lim ln(y)/y

lim√y -> -∞ et (1/2)*lim ln(y)/y->1/2 ==> lim f(x)=(1+1/x^2)ln(x) -> -∞

Asymptote verticale pour x=0

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Lorsque x->∞ alors y->∞ et lim f(x)=(1+1/x^2)ln(x)=(1+1/y)ln(√y))=lim ln√y+(1/2)*lim ln(y)/y

lim√y -> ∞ et (1/2)*lim ln(y)/y->0 ==> lim f(x)=(1+1/x^2)ln(x) -> ∞

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f'(x)=(1 + 1/x^2)/x - (2 ln(x))/x^3=(x^2 - 2 ln(x) + 1)/x^3=g(x)/x^3

f'(x)>0 sur ]0, ∞[ ==> f(x) croissante sur son intervalle de définition

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h(x)=ln(x)/x^2

on pose x^2=y ==> x=√y

Lorsque x->∞ alors y->∞ et lim h(x)=ln(x)/x^2=lim ln√y/y= lim (1/2) ln(y)/y -> 0 (croissance comparée de ln(y) et de y

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h(1)=0 et h(1)<0 pour x<1 et >0 pour x>1

x..........0...................1..........................

h(x)...............(-).......(0)........(+)...........

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Le graphe de f(x) est en dessous de celui de y pour x<1 et au dessus pour x>1

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Equation de la tangente à f(x) au point d'abscisse 1

y1=f'(1)*(x-1)+f(1)=2*(x-1)

C--------------

H'(x)=-(-ln(x) - 1)/x^2 - 1/x^2=ln(x)/x^2

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aire A(a)=Somme de 1 à a de f(x)=[H(x)]1a =1-(1+ln(a))/a

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lorsque a-> ∞

lim A(a)=1-(1+ln(a))/a=1

[pzorba75]

Juste pour la limite de f(x)=(1+1/x^2)ln(x)

en +infty, 1+1/x^2 tend vers 1, ln(x) vers + infty donc f tend vers +infty

en 0+, ln(x)+ln(x)/x^2 tend vers -infty

Espérant que cela t'aidera.