Probabilité 1Er S

[pepsy]

Bonjour,

Je suis en en première S et nous étudions actuellement les probabilités.Notre professeur nous a donné un devoir maison a faire pendant les vacances seulement je ne suis pas très douer en proba, pour tout dire j'ai beau relire plusieurs fois mon cours refaire mes exercices j'ai du mal à comprendre.

Voici mon exercice que j'ai un peu commencé et sur le quel je bloque.

partie A:

Lors de la préparation d'un concour un éléve n'a étudié que 50 des 100 leçons.On a mis 100 papiers contenant chacun une questions dans l'urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément au hasard 2 papiers.

1) Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun des deux sujets.

Tout d'abord j'ai cherché le nombre d'issue total: (100;2)=100!/98!2!=4950 je ne sais pas si ce résultat est correcte mais j'ai essayé de m'inspirer d'un exercice similaire.

donc pour moi il peut i avoir trois type de tirage: il connaît les deux sujets; il n'en connaît aucun;il en connaît un sur deux.

P(A)=3/4950 mais ce résultat ne me semble pas correcte et je ne vois aucune autre possibilité.Je suis vraiment perdu dans toutes ces formules .

Votre aide me sera vraiment très précieuse, si vous avez le temps de lire ce message et de m'envoyer quelques aides je vous remercie d'avance.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Pepsy,

Pour déterminer l'ensemble des cas possibles de tirages, tu as bien su écrire C(100,2). Maintenant, il faut trouver le nombre de tirages possibles pour lesquels, le candidat ne connait rien.

Questions préliminaires :

* Il ignore combien de leçons ?

* Il tire combien de papier ?

* Avec cela, il y a combien de combinaisons possibles ?

[pzorba75]

En première, as-tu vu en classe les dénombrements, c'est à dire la formule donnant le nombre de combinaisons de p objets parmi n objets? Normalement, c'est vu en terminale.

[pepsy]

Merci de m'avoir répondu aussi vite. : )

Alors il ignore la moitié des leçons donc 1/2 ,il tire deux papiers qui doivent être tout deux des leçons qu'il ne connaît pas pour respecter le premier événement.Il y a tois combinaisons possible dont une qui correspond à l'événement.

donc :[(2;1)x(3;1)x1/2]/(100;2)=1/1650 Ce résultat me semble bon, à moins que je me sois encore trompé, quand pensez-vous?

Euh et bien les dénombrements ne me disent rien mais les loi binomiales de paramétre p et n, loi de bernoulli et de lemme nous sommes entrain de les voir.

[Boltzmann_Solver]

En première, as-tu vu en classe les dénombrements, c'est à dire la formule donnant le nombre de combinaisons de p objets parmi n objets? Normalement, c'est vu en terminale.

[pepsy]

Il ignore 50 leçons ,il tire deux papiers et il y a trois combinaisons possibles.Mais je ne vois pas comment utiliser ces imformations si ce n'est le calcul que j'ai fait au par avant.

Pour les dénombrements notre professeur n'a jamais mentionné ce therme donc je ne peu pas vraiment dire que je sais ce que ça signifie.

[Boltzmann_Solver]

Il ignore 50 leçons ,il tire deux papiers et il y a trois combinaisons possibles.Mais je ne vois pas comment utiliser ces informations si ce n'est le calcul que j'ai fait au par avant.

Pour les dénombrements notre professeur n'a jamais mentionné ce therme donc je ne peu pas vraiment dire que je sais ce que ça signifie.

[pepsy]

Bonjour

Je pense que l'ordre des sujets n'est pas important puisqu'on les tirent simultanément.

Alors j'ai mis trois combinaisons parce que pour moi il n'y a pas de calcul à faire soit il a deux sujets qu'il connaît soit il ne les connaît pas soit il en connaît seulement un des deux.

Mais je vois qu'apparemment c'est plus compliqué.... . Dans mon cours j'ai trouvé la formule suivante:P(X=k)=(n;k)x p (puissance k) x (1-p)(puissance n-k)

J'ai remplacé k par 0 ; n par 2 et p par 1/2 mais mon résultat est incohérent ( enfin il me semble faux). J'ai dû me trompé encore une fois , pourriez vous me dire, s'il vous plaît, si la formule est correcte et ou sont mes erreurs j'ai passé une bonne partie de l'après midi à revoir mon cour mais je ne trouve toujours pas.

[Boltzmann_Solver]

Ce que tu devais trouver, c'est P(Aucun sujet travaillé) = C(50;2)/C(100;2) = 1225/4950 = 49/198

Je complète. Comme tu l'as dit, il n'y a pas d'ordre vu que le tirage est simultané. Donc, il faut utiliser le nombre de combinaison C(n,k). L'ensemble des tirages possibles donnant que des sujets non travaillé est C(50,2), c'est à dire 2 sujets parmi les 50 non travaillé. De même, l'ensemble des tirages possilbes avec deux sujets distincts sont C(100,2), c'est à dire 2 sujets parmi les 100 disponibles.

[pepsy]

bonjour,

J'ai poursuivi mon exercice en suivant vos conseils et en essayant de m'ensortir par moi même evec toutes ces formues.

2)Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets?

Il tire deux sujets qu'il connait dans les 50 qu'il a appris donc P(il connait les deux sujets)=P(B)= (50;2)/(100;2)=49/198

3)Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul des deux sujets?

Il tire un sujet qu'il connait dans les 50 qu'il a appris donc P(il connait un des deux sujets seulement)=P©=(50;1)/(100;2)=1/99

4)Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins l'un des deux sujets?

Je sais que le total des probabilités doit être égale à 1 donc:1-(P(A)+P(B)+P©)=1-(49/198+49/198+1/99)=49/99=P(il connait au moins un des deux sujets)

Je ne sais pas vraiment si mon raisonnement est correct mais j'ai essayé d'être logique, donc cela me semble bon.Si vous voyez une erreur dans ma démarche pourriez vous me la signaler,s'il vous plaît, afin que je la corrige?

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Pepsy,

Je te répondrai cet après-midi. Mais il y a une erreur de raisonnement.

@+

[Boltzmann_Solver]

bonjour,

J'ai poursuivi mon exercice en suivant vos conseils et en essayant de m'en sortir par moi même avec toutes ces formules.

2)Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets?

Il tire deux sujets qu'il connait dans les 50 qu'il a appris donc P(il connait les deux sujets)=P(B)= (50;2)/(100;2)=49/198

OK.

3)Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul des deux sujets?

Il tire un sujet qu'il connait dans les 50 qu'il a appris donc P(il connait un des deux sujets seulement)=P©=(50;1)/(100;2)=1/99

Faux. Il ne connait qu'un sujet sur deux. Donc, il doit tirer un sujet connu C(50,1) puis un sujet inconnu C(50,1). Donc P(Un sujet travaillé) = C(50,1)*C(50,1)/C(100,2) = 50/99. Tu peux aussi le voir comme une probabilité totale : P(Un sujet travaillé) + P(Aucun sujet travaillé) + P(Deux sujets travaillés) = 1 Et tu trouveras la même chose.

4)Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins l'un des deux sujets?

Je sais que le total des probabilités doit être égale à 1 donc:1-(P(A)+P(B)+P©)=1-(49/198+49/198+1/99)=49/99=P(il connait au moins un des deux sujets)

Faux. Ici, il faut voir que P(Au moins un sujet travaillé) = P((Un sujet travaillé)U(Deux sujets travaillés)) = P(Un sujet travaillé) + P(Deux sujets travaillés) car les événements sont indépendants. Je te laisse me proposer la valeur numérique de cette probabilité.

Je ne sais pas vraiment si mon raisonnement est correct mais j'ai essayé d'être logique, donc cela me semble bon.Si vous voyez une erreur dans ma démarche pourriez vous me la signaler,s'il vous plaît, afin que je la corrige?

[pepsy]

J'ai modifié le 4) suite à votre correction ce qui donne:P(un sujet travaillé)+P(deux sujets travaillé)=50/99+49/198=149/198=P(au moins un sujet travaillé)

[Boltzmann_Solver]

Ok. Je te recommande pour la version papier de ton exercice de donner des noms aux événements. Par exemple, A : "Tirer un sujet travaillé". Et tu mettras P(A) par la suite.

[pepsy]

La partie A est enfin terminégrâce à votre aide( à mois une faute de calcul) mais il me reste la partie B plus courte mais plus compliqué.

partie B:

On considère maintenant que l'éléve a étudié n des 100 leçons ( n étant un entier naturel inférieur ou égale à 100)

pour les noms des événemet P(A)=aucun sujet, P(B)=connait les deux sujets;P©=un seul des deux sujets connu et P(D)=au mons un des deux sujets connu

1) calculer en fonction de n la probabilité Pn qu'il connaisse au loins l'un des deux sujets.

Je reprend le même raisonnement que le 4) de la partie A:

Pn=P©+P(B)=P(il connait un sujet)+P(il connait les deux sujets)

Pn= (n;1)x(n;1)/(100;2)+(n;2)/(100;2)

Pn= n² + (n;2)/(100;2)=n²+ (n;2)/4950

j'ai simplifier l'expression au maximum en espérant qu'elle est correcte.quand pensez-vous?

[Boltzmann_Solver]

On va aller un peu plus loin maintenant vu que tu maitrises les bases. Et aussi, parce que l'exo amène à généraliser le problème.

Soit Xn, la variable aléatoire associée à la connaissance des sujets tirés suivant le travail de l'élève. Par exemple, Xn=1 : "L'élève a travaillé n sujets et en a tiré 1 de travaillé.

Dans ces conditions, Pn = P(Xn=1)+P(Xn=2).

Il faut trouver :

* P(Xn=1) = C(n,1)*C(100-n,1)/C(100,2) = n(100-n)/4950 (Comme avant sauf qu'au lieu d'avoir 50 sujet ok et 50 non ok, tu as n sujets OK et 100-n sujets ok. Tu comprends ton erreur ?)

* P(Xn=2) = C(n,2)//C(100,2) = n(n-1)/9900 (Idem)

Et donc, Pn = (2n(100-n) + n(n-1))/9900 = (199n-n²)/9900 = n(199-n)/9900

Et n'oublie pas de simplifier les termes combinatoires quand tu peux !

[pepsy]

bonjour,

désolé j'ai mis un peu de temps pour répondre mais pour être franche j'ai du mal à comprendre votre explication.J'ai compris mon erreur et P(X=1) mais pourquoi P(Xn=2) et Pn sont ils sur 9900 ?J'ai cherché dans mon cours et dans mes exercices mais je ne comprend toujours pas.

Pouvez-vous m'expliquer plus en détails s'il vous plaît?

[Boltzmann_Solver]

bonjour,

désolé j'ai mis un peu de temps pour répondre mais pour être franche j'ai du mal à comprendre votre explication.J'ai compris mon erreur et P(X=1) mais pourquoi P(Xn=2) et Pn sont ils sur 9900 ?J'ai cherché dans mon cours et dans mes exercices mais je ne comprend toujours pas.

Pouvez-vous m'expliquer plus en détails s'il vous plaît?

[pepsy]

Bonjour,

Oui merci je comprends mieux : ).J'ai refait tout les calculs en détails avec votre explication afin de bien comprendre.

2)Déterminer les entiers n tel que Pn ≥0,95.

Il faut donc résoudre cette inéquation: n(199-n)/9900≥ 0,95

n(199-n)/9405≥0 après il faut développer le coefficient binomial (199-n) qui donne 199-n mais multiplier par n=199n-n² un polynôme du second dergrés.Je ne sais pas vraiment si ma démarche est correcte, suis-je sur la bonne voie ou complétement à côté de la plaque?

J'ai essayé d'autre méthodes mais elles ne marchent pas on se retrouve toujours avec une inéquations du second degrés et le chapitre qu'on a fait cette année est sur les polynômes c'est pourquoi j'utilise cette méthode.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Oui merci je comprends mieux : ).J'ai refait tout les calculs en détails avec votre explication afin de bien comprendre.

2)Déterminer les entiers n tel que Pn ≥0,95.

Il faut donc résoudre cette inéquation: n(199-n)/9900≥ 0,95

n(199-n)/9405≥0 après il faut développer le coefficient binomial (199-n) qui donne 199-n mais multiplier par n=199n-n² un polynôme du second dergrés.Je ne sais pas vraiment si ma démarche est correcte, suis-je sur la bonne voie ou complétement à côté de la plaque?

J'ai essayé d'autre méthodes mais elles ne marchent pas on se retrouve toujours avec une inéquations du second degrés et le chapitre qu'on a fait cette année est sur les polynômes c'est pourquoi j'utilise cette méthode.

[pepsy]

Bonjours,

Effectivement je me suis trompée 0,95/0,95=1 et pas 0 :n(199-n)/9900≥0,95

n(199-n)/9405≥1

(199n-n²/9405)-1≥0 Est-ce mieux?

[Boltzmann_Solver]

Bonjours,

Effectivement je me suis trompée 0,95/0,95=1 et pas 0 :n(199-n)/9900≥0,95

n(199-n)/9405≥1

(199n-n²/9405)-1≥0 Est-ce mieux?

[pepsy]

Oui ,normalement, si je met tout sur la même fraction j'obtient un trinôme du second degrés,je calcule son discriminant qui sera possitif donc j'obtient deux racines que je place dans un tableau de signe afin d'avoir l'ensemble des solutions.

A moins qu'il y est une autre solution?

[Boltzmann_Solver]

Oui ,normalement, si je met tout sur la même fraction j'obtient un trinôme du second degrés,je calcule son discriminant qui sera possitif donc j'obtient deux racines que je place dans un tableau de signe afin d'avoir l'ensemble des solutions.

A moins qu'il y est une autre solution?

[pepsy]

Bonsoir,

Merci votre message m'encourage et me rassure surtout.

J'ai donc fait les calcules:199n-n²-9405/9405≥0

le discrimant de ce trinôme 199n-n²-9405 est = 77221

On obtient donc deux racines: (-199- 77221)/-1 476,9 et (-199+ 77221)/-1 -78,9

(J'avais fait un tableau mais impossible de coller)

x--------------------------- - -------- -78,9---- 476,9------ +

199n-n²-9405 ------------------ - ------0----- + ----0------ - ..............les signes ne voient pas très bien donc il y a: moins de - à -78,9 , plus de -78,9 à 476,9 et enfin moins de 476,9 à +

S= [-78,9; 476,9] y a t-il des erreurs?