Théorème Du Trapèze 1S

[Mary1]

Bonjour,

J'ai un exercice a faire pour ces vacances , j'ai fait la Première partie ( je ne sais pas si c'est juste) et je ne comprends pas la seconde.

Voici l'énoncé :

ABCD est un trapèze de bases [AD] et [bC] dont les diagonales se coupent au point O.

Le point I est le milieu du côté [AD].

Le point J est le milieu du côté [bC].

Les droites (AB) et (DC) se coupent au point E.

1-Observation et conjecture :

a) Tracer une figure avec Geogebra

b) Comment semblent etre les points J,O,I,E ?

c) Déplacer les sommets du trapèze pour savoir si ce résultat semble toujours vrai.

1a) Fait

b) Les points J,O,I et E semblent alignés.

c) Si l'on déplace les points C et D, le résultat est toujours vrai, or si l'on déplace B , l'alignement n'est plus vrai. Aussi, il est impossible de déplacer A. ??? Juste ?

2- Démonstration

a) Démontrer qu'il existe un réel k tel que :

(vecteur)OA=kOC

et

OD=kOB ( tout en vecteur )

b)Démontrer qu'on a alors OI=kOJ

c) Que peutt-on en déduire pour les points J,O et I ?

d) Démontrer de la meme facon que les points points J, I et E sont alignés.

e) Conclure.

voilà, merci de m'aider svp !

[pzorba75]

2

a - Application du Th. de Thalès

b - v(OA)+v(OD)=2*v(OI)

k*[v(OC)+v(OB)]=k*2*v(OJ)

=> 2*v(OI)=k*2*v(OJ) v(OI)=k*v(OJ) ces 2 vecteurs sont colinéaires et A, I et J sont alignés.

c - à toi de faire pareil avec E I et J.

Au travail.

[Mary1]

a) Dans le triangle AED, on sait que :

(BC) /// ( AD ) Comment le justifier

A,B,E sont alignés dans cet ordre

D,C,E sont alignés dans cet ordre

D'après le théorème de Thalès, on a:

EB/EA= EC/ED

?

, ,

[Mary1]

a) On connait (AC) et O appartient à (AC) donc A, O et C sont alignés dans cet ordre.

Si deux vecteurs OA et OC sont sur la meme droite, alors ils sont colinéaires, il existe un nombre k tel que OA = kOC.

On cherche à demontrer que le meme nombre k relie les egalités suivantes :

OA=kOC et OD=kOB

On écrit Thalès entre les triangles OBC et OAD ( avec (BC) // (AD) )

OC/OA = OB/OD

donc si OA/OC=k alors on aura aussi OD/OB=k

J'ai mis en orange ce que je ne pense pas qu'il faut presenter de cette manière ?

b) OI=(OA+OD)/2=(kOC+kOB)/2=k(OB+OB)/2=kOJ

c) J, O et I sont alignés . Faut -il justifier ?

d) Dans quel triangle se placer ?

Merci encore

[Mary1]

je ne comprends toujours pas.. Merci de m'aider svp

[Mary1]

Voilà, j'ai réussi !

[Mary1]

Bonjour, je vais tenter de tout recommencer, la figure se trouve si dessus

2a) Dans les triangles OBC et OAD,

(AB) // (DC)

A, O et C sont alignés

B, O, et D sont alignés

OC/OA = OB/ OD

si OA/OC = k alors OD/OB = k également.

donc OA =k OC et OD = kOB ( vecteurs )

2b) OI= 1/2 ( OA + OD )

OI = 1/2 ( kOC + kOB )

OI= k/2 ( OC + OB )

et là je n'y arrive plus , aidez moi svp

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Le corrigé tant attendu. En espérant que tu sauras en tirer tous les enseignements utiles et nécessaires.

I)a)

b) Il semblerait que les points I,J,E,O sont alignés.

c) Le résultat reste vrai tant que le trapèze ne devient pas parallélogramme (car, on assure plus l'existence du point E).

II) a) Il faut montrer qu'il existe un unique k dans R* tel que vect(OA) = k*vect(OC) et vect(OD) = k*vect(OB).

L'existence d'un facteur k est assurée par la définition du point O. En effet, le point O est crée comme l'intersection des diagonales [AC] et [bD]. Donc, il suffit de vérifier qu'il s'agit du même k en travaillant sur les normes des vecteurs.

PS : Cette première ligne est importante. Tu ne peux pas te contenter de vérifier que les normes marchent. On pourrait très bien avoir des normes identiques sans avoir alignement des points !

Dans le sablier non plat ADOBC (donc, AOC et BOD sont alignés), [AD] // [bC]. Donc d'après le théorème de Thalès, il existe k dans R* tel que k = BC/AD = OC/OA = OB/OD.

En conséquence, on a montré que si k = AD/OC :

* vect(OA) = k*vect(OC)

* vect(OD) = k*vect(OB).

b) Attention, ici, l'alignement n'est pas assuré. Donc, il faut utiliser un outil plus général à savoir les vecteurs. Et surtout ne pas utiliser Thalès qui suppose l'alignement de points !

On sait que par définition de I et J que :

* vect(AI) = 1/2*vect(AD)

* vect(BJ) = 1/2*vect(BC)

En appliquant Chasles en O sur tous les vecteurs, on a :

* vect(AI) = 1/2*vect(AD) => vect(AO) + vect(OI) = 1/2*(vect(AO)+vect(OD)) => vect(OI) = 0.5(vect(OA)+vect(OD))

* vect(BJ) = 1/2*vect(BC) => vect(BO) + vect(OJ) = 1/2*(vect(BO)+vect(OC)) => vect(OJ) = 0.5(vect(OB)+vect(OC))

Or, en remplaçant vect(OA) et vect(OD) par les expresions obtenues dans la question précédente, on trouve : vect(OI) = 0.5k*(vect(OC)+vect(OB)). Et là on reconnait vect(OJ) et on peut écrire que vect(OI) = k*vect(OJ). CQFD.

c) On en déduit que les points O,I,J sont alignés car les veteurs vect(IO) et vect(OJ) sont collinéaires. De plus, on retrouve bien le rapport k que l'on peut redémonter à l'aide du théorème de Thalès (non demandé dans cette question).

Déjà ça.

[Mary1]

D'accord ! J'ai compris.

Je viens de refaire au brouillon tout ce que vous avez marquer pour le 2b ( le 2a était juste en fait ! ).

Donc, c'est bon.

Et là il faut que je refasse tout pareil pour la question d ?

[Boltzmann_Solver]

d) Il nous faut trouver k' dans R* tel que vect(IE) = k*vect(JE). Etudions vect(IE) et vect(JE) de manière analogue.

En utilisant Chasles en A pour IE et B pour J :

* vect(IE) = vect(IA) + vect(AE)

* vect(JE) = vect(JB) + vect(BE)

Par définition de I et J comme milieu respectivement de [AD] et [bC] :

* vect(IE) = 1/2*vect(DA) + vect(AE) = 1/2(vect(DE)+vect(AE)) en utilisant Chasles en E sur vect(DA) (1)

* vect(JE) = 1/2*vect(CB) + vect(BE) = 1/2(vect(CE)+vect(BE)) en utilisant Chasles en E sur vect(CB) (2)

Par définition les points A,B,E et les points D,C,E sont alignes. Donc, les vecteurs vect(AE) et vect(BE) seront collinéaires ainsi que les vecteurs vect(DE) et vect(CE)

De plus, [AD] // [bC]. Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :

* k' = BC/AD = BE/AE = CE/DE.

On en déduit que :

* vect(CE) = k'*vect(DE)

* vect(BE) = k'*vect(AE)

En substituant ces égalites dans (1) et (2), on trouve que :

* vect(IE) = 1/2(vect(DE)+vect(AE))

* vect(JE) = 1/2(vect(CE)+vect(BE)) = k'/2*(vect(AE)+vect(DE)) = k'*vect(IE).

On a montré là encore que les points I,J,E étaient alignés car les vecteurs vect(IE) et vect(JE) étaient collinaires.

e) Comme les points IJ,O sont alignés et que les points I,J,E le sont aussi, on en conclut que les points I,J,O,E sont alignés. CQFD.

D'accord ! J'ai compris.

Je viens de refaire au brouillon tout ce que vous avez marquer pour le 2b ( le 2a était juste en fait ! ).

Donc, c'est bon.

Et là il faut que je refasse tout pareil pour la question d ?

[Mary1]

d)Par définition de I et J comme milieu respectivement de [AD] et [bC] :

* vect(IE) = 1/2*vect(DA) + vect(AE) = 1/2(vect(DE)+vect(AE)) en utilisant Chasles en E sur vect(DA) (1)

* vect(JE) = 1/2*vect(CB) + vect(BE) = 1/2(vect(CE)+vect(BE)) en utilisant Chasles en E sur vect(CB) (2)

[Boltzmann_Solver]

d)Par définition de I et J comme milieu respectivement de [AD] et [bC] :

* vect(IE) = 1/2*vect(DA) + vect(AE) = 1/2(vect(DE)+vect(AE)) en utilisant Chasles en E sur vect(DA) (1)

* vect(JE) = 1/2*vect(CB) + vect(BE) = 1/2(vect(CE)+vect(BE)) en utilisant Chasles en E sur vect(CB) (2)

[Mary1]

Ah d'accord, merci je continue de feuilleter votre belle correction

[Boltzmann_Solver]

Ah d'accord, merci je continue de feuilleter votre belle correction

[Mary1]

AH !

J'ai donc enfin terminé, et en ayant compris. Merci BS

Je fais me faire une fiche sur ca, car ca a l'air d'etre un classique. J'essaierais de la poster sur ce fil si j'ai le temps avec tous ces cours.

Bonne fin de soirée et merci de votre aide

[Boltzmann_Solver]

Je suis content que tu aies compris.

Bonne soirée également et peut-être à une prochaine fois.

[Mary1]