Les Fonctions 3)

[brouillon]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour faire cet exercice s'il vous plait.

On dispose d'une feuille de carton carré, de coté 12 cm. On va construire une boite sans couvercle, de la manière suivante.

Dans chaque angle, on découpe un carré de coté x. Puis on plie suivant les pointillés pour obtenir une boite sans couvercle(voir figure).

Le but du problème est de déterminer x pour pouvoir construire une boite ayant un volume maximal.

1) On note V(x) le volume de la boite. Montrer que : V(x)=x(12-2x)²

2) Quel est l'ensemble de définition de la fonction V ?

3) Étude de la fonction à la calculatrice.

a) Rentrer la fonction V à la calculatrice.

b) Obtenir sur la calculatrice le tableau de valeurs:

x / 0 / 0.5 / 1 / 1.5 / 2 / 3 / 4/ 4.5 / 5 / 5.5 / 6

à compléter

v(x)

c) A l'aide de ce tableau de valeurs, régler la fenêtre graphique puis afficher la courbe représentative de V. Conjecturer à l'aide de la touche "trace" ou de la touche "calc" la valeur de x qui rend ce volume maximal

4) Démonstration de la conjecture faite graphiquement

a) Démontrer que V(x) - 128 = 4(x-2)²(x-8)

b) quel est le signe de x-8 ? En déduire le signe de V(x) -128

c) Conclure

Mes réponses

1) V(x) = x(12-2x)²

= x * ( 12²-2*12*2x+(2x)² )

= x * ( 144 -48x + 4x² )

= x *144 - 48x*x +x*4x²

= 144x - 48x² + 4x puissance 4

Est-je juste ? Comment répondre aux autres questions ?

[pzorba75]

4) Démonstration de la conjecture faite graphiquement

a) Démontrer que V(x) - 128 = 4(x-2)²(x-8)

Développer et ordonner x(12-2x)^2-128=x(144-48x+4x^2)-128=4x^3-48x^2+144x-128

4(x-2)²(x-8)=4(x^2-4x+4)(x-8)=(4x^2-16x+16)(x-8)=4x^3-32x^2-16x^2+128x+16x-128=4x^3-48x^2+144x-128

donc V(x) - 128 = 4(x-2)²(x-8)

b) quel est le signe de x-8 ? En déduire le signe de V(x) -128

x-8<0 si x<8 donc v(x)-128<0 si x<8 donc v(x)<128 pour x<8, ce qui n'a pas trop de sens avec un côté de 12.

c) Conclure

V(x)-128=0 si x=2 c'est la dimension du carré pour que le volume de la boite soit le plus grand.

[brouillon]

Comment démontrer la question 1 ?

[Barbidoux]

Les dimensions du fond de la boite sont 12-x sur 12-x et sa hauteur vaut x donc son volume vaut V(x)=x*(12-x)^2

[brouillon]

12-x * 12-x * x

= x(12-2x)²

est-ce cela ?

[Barbidoux]

Oui c'est ce que j'ai écrit....

[brouillon]

d'accord merci

comment dois-je faire pour la question 2 ?

[Barbidoux]

x peut être au plus égal a 6 cm donc x appartient à [0,6]

[brouillon]

Pourquoi 6 cm ? Quel est le raisonnement ?

[pzorba75]

Sur un côté de 12 cm tu peux enlever deux segments de 6 cm de longueur maximale, si tu veux encore faire la boite, d'où [0;6[.

[brouillon]

d'accord merci

Je ne comprend pas la justification pour la question 4 b) pourriez vous m'expliquer s'il vous plait