Besoin D'aide Trigonométrie

[sonia22]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour ces exos

CALCULER Y= Arctan 2 + Arctan3 +Arctan(2+ (racine de 3))

pour sa j'ai trouvé Y=[ (-5racine de 3) /2 ] +1 mais je doute

ensuite dans mon deuxieme exerciceje dois pprouver que pour tt x appartenant a [ 0; PI/2 ] (2/PI)*x est plus petit ou égale à sinx plus petit ou égale à x

pour cela je suis totalement bloqué

puis ensuite le dernier c'est soit f:x (fléche) Arctan [1/ ( x-2) ] + Arctan [1/( x+3)]

Question 1/ Etudier f sans la représenté et en déduire le nombre de solution de l'équation f(x)= PI/2 (E)

2/ Résoudre explicitement (E)

Merci d'avance

[Barbidoux]

Exo 2

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Prouver que pour tt x appartenant a [ 0; PI/2 ] (2/PI)*x est plus petit ou égale à sinx plus petit ou égale à x

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On note f la fonction x -> Pi*sin(x) - 2x. 
f deux fois dérivable et on a pour tout x de [0 ; pi/2]: 
f '(x) = Pi*cos(x) - 2 
f ''(x) = -Pi*sin(x). 

On a donc f ''(x) 0 sur [0 ; pi/2]. 
donc f ' décroissante sur [0 ; pi/2]. 
Or f '(0) > 0 et f '(Pi/2) < 0. 
Donc il existe un élément a de [0 ; pi/2] tel que f '(a) = 0 donc f croissante sur [0 ; a] f décroissante sur [a ; pi/2] et comme f(b) >0 pour b appartenant à [0 ; pi/2] ==> Pi*sin(x) - 2x 0 ==> sin(x) 2*x/Pi 


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On note f la fonction x -> x-sin(x) 
f '(x) = 1-cos(x) <0 sur [0,pi/2]==> f(x) décroissante sur [0,pi/2]

f(0)=0 ==> x-sin(x) =< 0 ==>sin(x) x sur [0,pi/2]


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[elp]

Exercice 1

On va utiliser la relation suivante:

atn(x)+atn(y)=atn[(x+y)/(1-xy)]+k*pi avec:

k=0 si xy>1

k=1 si xy>1 avec x et y >0

k=-1 si xy>1 avec x et y <0

atn(2)+atn(3)=atn(5/-5)+1*pi=atn(-1)+pi

atn(-1)+pi+atn(2+rac(3))=pi+atn[(1+rac(3))/(1+2+rac(3))]+0*pi=

pi+atn[(1+rac(3))/(3+rac(3)]=pi+atn[((1+rac(3)))*(3-rac(3))/((3+rac(3))(3-rac(3))]=

pi+atn(2rac(3)/6)=pi+atn(rac(3)/3))=pi+pi/6=7pi/6