Can_diice Posté(e) le 6 septembre 2011 Signaler Posté(e) le 6 septembre 2011 Bonjour, Voilà un dm que j'ai à faire pour mercredi 14, pouvez vous vérifier et/ou m'aider ? Merci Exercice 1 1) Développer (x-2)(3x+4) Développer (x+14)(x-4) (x-2)(3x+4) =3x²+4x-6x-8 =3x²-2x-8 (x+14)(x-4) =x²-4x+14x-56 =x²+10x-56 2) Résoudre dans R l'inéquation (2x-3/x-2) - (4x-1/3x²-2x-8) >ou= 65/32 Ici je ne vois pas comment commencer. Exercice 2 Le but du probleme est de comparer les deux nombres suivants : A = 1.0000002/1.0000004 et B = 0.9999996/0.9999998 1) Soient f et g les fonctions définies par : f(x) = 1+2x/1+4x et g(x) = 1-4x/1-2x a) Quels sont les ensembles de définitions Df et Dg des fonctions f et g ? A/B existe si B diff 0 donc si 1+4x diff 0 1+4x=0 x= -1/4 Donc x doit etre différent de -1/4 Df = R privé de -1/4 A/B existe si B diff 0 donc si 1-2x = 0 1-2x=0 x=1/2 Donc x doit etre différent de 1/2 Dg = R privé de 1/2 b) Que vaut f(10-7) ? Que vaut ? f(10-7) = (1+2*10-7)/(1+4*10-7) = 0.99999998 g(10-7) = (1-4*10-7)/(1-2*10-7) = 0.99999998 2) Pour comparer les nombres A et B, on va comparer les fonctions f et g en étudiant la différence f(x)-g(x) a) Démontrer que : f(x)-g(x) = 12x²/(1+4x)(1-2x) Je ne vois pas comment arriver à ce résultat... b) Résoudre l'inéquation : f(x) -g(x) > 0 c) En déduire le signe de f(10-7)-g(10-7) d) Conclure Merci beaucoup d'avance !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2011 Exercice 1 1) Développer (x-2)(3x+4) Développer (x+14)(x-4) (x-2)(3x+4) =3x²+4x-6x-8 =3x²-2x-8 OK (x+14)(x-4) =x²-4x+14x-56 =x²+10x-56 OK 2) Résoudre dans R l'inéquation (2x-3/x-2) - (4x-1/3x²-2x-8) >ou= 65/32 Ici je ne vois pas comment commencer. Respecte les parenthèses, il en manque beaucoup !!! Déja, on reconnait un des polynômes au numérateur de la seconde fraction, donc, tu factorises. (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/(3x²-2x-8) => 65/32 => (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/((x-2)(3x+4)) => 65/32 => 2 + 1/(x-2) - 1/(x-2) - (x-5)/((x-2)(3x+4)) => 65/32 => - (x-5)/((x-2)(3x+4)) => 1/32 Après réduction par un tableau de signe, on a : => pour tout x => 5 tel que 32(x-5) (x-2)(3x+4) ET pour tout x app à [-4/3,2] tel que 32(x-5) => (x-2)(3x+4) Sous cette forme, tu peux y arriver, j'imagine ? Mais je dois bien avouer que c'est très calculatoire pour la première. Une erreur d'énoncé peut être car on utilise pas la seconde factorisation ? Exercice 2 Le but du probleme est de comparer les deux nombres suivants : A = 1.0000002/1.0000004 et B = 0.9999996/0.9999998 1) Soient f et g les fonctions définies par : f(x) = 1+2x/1+4x et g(x) = 1-4x/1-2x a) Quels sont les ensembles de définitions Df et Dg des fonctions f et g ? A/B existe si B diff 0 donc si 1+4x diff 0 1+4x=0 x= -1/4 Donc x doit etre différent de -1/4 Df = R privé de -1/4 A/B existe si B diff 0 donc si 1-2x = 0 1-2x=0 x=1/2 Donc x doit etre différent de 1/2 Dg = R privé de 1/2 Ok mais les parenthèses !!! b) Que vaut f(10-7) ? Que vaut ? f(10-7) = (1+2*10-7)/(1+4*10-7) = 0.99999998 Faux, ça vaut A. g(10-7) = (1-4*10-7)/(1-2*10-7) = 0.99999998 Faux, ça vaut B. 2) Pour comparer les nombres A et B, on va comparer les fonctions f et g en étudiant la différence f(x)-g(x) a) Démontrer que : f(x)-g(x) = 12x²/(1+4x)(1-2x) Je ne vois pas comment arriver à ce résultat... Il suffit de mettre au même dénominateur. b) Résoudre l'inéquation : f(x) -g(x) > 0 Fais un tableau de signe. c) En déduire le signe de f(10-7)-g(10-7) Regarde le tableau de signe pour x=10^(-7). d) Conclure Si l'inégalité est vraie pour x=10^(-7), alors A > B, sinon A < B. Merci beaucoup d'avance !
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 6 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2011 Exercice 1 1) Développer (x-2)(3x+4) ----------------- (x-2)(3x+4)=3x^2-2x-8 ----------------- Développer (x+14)(x-4) ----------------- (x+14)(x-4)=x^2+10x-56 ----------------- 2) Résoudre dans R l'inéquation (2x-3/x-2) - (4x-1/3x^2-2x-8) >ou= 65/32 ----------------- Attention aux parenthèses (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/(3x^2-2x-8) 2 est racine du polynôme (3x^2-2x-8) l’autre racine est -4/3 (produit des racines = -8) et (3x^2-2x-8) =3(x - 2) (x + 4/3) ==> (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/(3x^2-2x-8)=(3(x + 4/3)(2x-3)-(4x-1))/(3x^2-2x-8) ==> (6x^2-5x-11)/(3x^2-2x-8) 65/32 Si x 2 et -4/3 alors 65(6x^2-5x-11)-32(3x^2-2x-8) 0 ==> -3x^2-30x+168 0 => 3x^2+30x-168 0. Ce polynôme admet dux racines x=-14 et x= 4 est du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines donc x appartient à ]-∞, -14[ U ]2, ∞[ ----------------- Exercice 2 Le but du probleme est de comparer les deux nombres suivants : A = 1.0000002/1.0000004 et B = 0.9999996/0.9999998 1) Soient f et g les fonctions définies par : f(x) = 1+2x/1+4x et g(x) = 1-4x/1-2x ----------------- Attention aux parenthèses f(x)=(1+2x)/(1+4x) et g(x)=(1-4x)/(1-2x) ----------------- a) Quels sont les ensembles de définitions Df et Dg des fonctions f et g ? ----------------- R\{-1/4} pour f(x) et R\{2} pour g(x) ----------------- b) Que vaut f(10-7) ? Que vaut g(10-7) ? ----------------- f(10-7) = (1+2*10-7)/(1+4*10-7) = (1+4*10-7-2*10-7)/(1+4*10-7)=1-2*10-7/(1+4*10-7)) g(10-7) = (1-4*10-7)/(1-2*10-7) = (1-2*10-7-2*10-7)/(1-2*10-7) = 1-2*10-7/(1-2*10-7) mais comme 2*10-7/(1+4*10-7)) <2*10-7/(1-2*10-7) ==> f(10-7) >g(10-7) ----------------- 2) Pour comparer les nombres A et B, on va comparer les fonctions f et g en étudiant la différence f(x)-g(x) a) Démontrer que : f(x)-g(x) = 12x^2/(1+4x)(1-2x) ----------------- f(x)-g(x)=(1+2x)/(1+4x) -(1-4x)/(1-2x) =((1+2x)(1-2x)-(1-4x)*(1+4x))/((1+4x)*(1-2x)) =12x^2/((1+4x)*(1-2x)) ----------------- b) Résoudre l'inéquation : f(x) -g(x) > 0 ----------------- f(x)-g(x)=12x^2/((1+4x)*(1-2x)) Le dénominateur de cette expression est du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines soit >0 pour x appartenant à ]-1/4, 2[ ----------------- c) En déduire le signe de f(10-7)-g(10-7) ----------------- f(10-7)-g(10-7) >0 -----------------
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2011 Bonsoir Barbidoux, Il y a des coquilles pour le premier exo. Sur la façon de faire l'exo, les premières questions indiquent que Candice ne connait pas encore le discriminant lui permettant de trouver les racines des polynômes de degré 2. Ensuite, ta résolution de l'inégalité est fausse. C'est un classique des inégalités où il ne faut multiplier par des fonctions que si elles sont de signe constant sur le Df. Or, ce sont des fonctions affines qui commune de signe sur R (d'où ma disjonction de cas). Pour t'en convaincre, calcule les limites infinies et tu verras que ta solution ne marche pas. Tu peux t'aider de ma solution qui me semble la plus simple à mettre en œuvre (mais demande de l'astuce sur les éléments simples). Mais cet exo est vraiment dur pour un début de première S (pour moi Candice était en seconde cette année...) où alors, j'ai raté une astuce. Vive la rentrée :p.
Can_diice Posté(e) le 7 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Merci beaucoup à vous deux. J'ai retravaillé sur le premier exo avant que vous ne me répondiez, et j'arrive à cette solution : (192x²-160x-352)/(96x²-64x-256) - (195x²-130x-520)/(96x²-64x-256) > 0 > (-3x²-290x-872)/(96x²-64x-256) > 0 Est ce que c'est correct ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 7 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 BS à raison je suis allé trop vite sur l’exo 1 et ma résolution est erronée, j’ai oublié le dénominateur de la fraction : 2 est racine du polynôme (3x^2-2x-8) l’autre racine est -4/3 (produit des racines = -8) et (3x^2-2x-8) =3(x - 2) (x + 4/3) ==> (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/(3x^2-2x-8)=(3(x + 4/3)(2x-3)-(4x-1))/(3x^2-2x-8) ==> (6x^2-5x-11)/(3x^2-2x-8) 65/32 (65(6x^2-5x-11)-32(3x^2-2x-8))/(3x^2-2x-8) = (-3x^2-30x+168)/(3x^2-2x-8) >=0 ==> f(x)=(-3x^2-30x+168)/(3(x - 2) (x + 4/3)) >=0 Le polynôme 3x^2+30x-168 admet deux racines x=-14 et x= 4 et il est du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur des racines. Il faut faire ensuite un tableau de signes : x................................................(-14)......................(-4/3)....................(2)..............(4).......... (-3x^2-30x+168).......(-)...........(0)........(+)...............................(+)...............(+).....(0).....(-) (x - 2) (x + 4/3)...........(+).......................(+)..............(0)............(-).......(0).....(+)..............(+) f(x)...............................(-)............(0)........(+)..............||...............(-).......||.......(+)......(0).....(-) donc x appartient à [-14, -4/3[ U ]2, 4] * si tu ne connait pas encore le discriminant qui permet de trouver les racines des polynômes de degré 2 tu peux procéder comme suit 3x^2+30x-168 =3*(x^2+10*x-56) x^2+10 est le début du développement de (x+5)^2=x^2+10*x+25 et x^2+10*x-56= (x+5)^2-81 =(x+5+9)*(x+5-9)=(x+14)(x-4) x................................................(-14)......................(-4/3)....................(2)..............(4).......... -3*(x^2+10*x-56).......(-)...........(0)........(+)...............................(+)...............(+).....(0).....(-) (x - 2) (x + 4/3)...........(+).......................(+)..............(0)............(-).......(0).....(+)..............(+) f(x)...............................(-)............(0)........(+)..............||...............(-).......||.......(+)......(0).....(-) donc x appartient à [-14, -4/3[ U ]2, 4]
Can_diice Posté(e) le 7 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Merci je regarderai ça plus tard. J'ai continué l'exo 2. Pour le 2)b- Je trouve : Signe du numérateur 12x² : Toujours positif Signe du dénominateur : Négatif sur [-infini;-1/4] et [1/2;+infini] et positif sur [-1/4;1/2] Et le produit est nul quand x = -1/4 ou x = 1/2 Est ce que c'est correct jusque la ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 7 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Signe du dénominateur : Négatif sur [-infini;-1/4] et [1/2;+infini] et positif sur ]-1/4;1/2[ car nul en x=1/2 et -1/4
Can_diice Posté(e) le 7 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Merci. Donc la réponse : On a f(x)-g(x) > 0 si x appartient ]-1/4 ; 1/2[. c) En déduire le signe de f(10-7)-g(10-7) Comme 10-7 n'appartient pas à ]-1/4 ; 1/2[ f(10-7)-g(10-7) est négatif d) Conclure Je peux conclure que A-B < 0 Mais comment comparer A et B ? Merci Exercice 1 1) Développer (x-2)(3x+4) Développer (x+14)(x-4) (x-2)(3x+4) =3x²+4x-6x-8 =3x²-2x-8 OK (x+14)(x-4) =x²-4x+14x-56 =x²+10x-56 OK 2) Résoudre dans R l'inéquation (2x-3/x-2) - (4x-1/3x²-2x-8) >ou= 65/32 Déja, on reconnait un des polynômes au numérateur de la seconde fraction, donc, tu factorises. (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/(3x²-2x-8) => 65/32 => (2x-3)/(x-2) - (4x-1)/((x-2)(3x+4)) => 65/32 Je ne comprends pas comment passer de cette ligne, à celle ci : => 2 + 1/(x-2) - 1/(x-2) - (x-5)/((x-2)(3x+4)) => 65/32 => - (x-5)/((x-2)(3x+4)) => 1/32
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 7 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Je peux conclure que A-B < 0 Mais comment comparer A et B ? ------------------ Comparer deux nombres revient à dire si l'un est plus grand ou égal l'autre... sit tu as A-B < 0 qu'en déduis tu pour A et B ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 7 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Bonsoir Candice, Rapidement (je ne détaille pas la définition de x), tu peux écrire que 2x-3 = 2x-4+1. Donc (2x-3)/(x-2) = (2x-4+1)/(x-2) = (2x-4)/(x-2) + 1/(x-2) =2(x-2)/(x-2) + 1/(x-2) = 2+1/(x-2). De même, 4x-1 = 3x+4+x-5. Donc, (4x-1)/((x-2)(3x+4)) = (3x+4+x-5)/((x-2)(3x+4)) = (3x+4)/((x-2)(3x+4)) + (x-5)/((x-2)(3x+4)) = 1/(x-2) + (x-5)/((x-2)(3x+4)).
Can_diice Posté(e) le 7 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 7 septembre 2011 Je peux conclure que A-B < 0 Mais comment comparer A et B ? ------------------ Comparer deux nombres revient à dire si l'un est plus grand ou égal l'autre... sit tu as A-B < 0 qu'en déduis tu pour A et B ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 9 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 9 septembre 2011 C'est évident non ?
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