lolipop390 Posté(e) le 3 février 2011 Signaler Posté(e) le 3 février 2011 Bonjour, Pourriez-vous m'aidez pour cette exercice. Merci D'avance. Partie I Soit n un entier naturel. On admet que la somme des n premiers carrés non nuls est égale à f n ( ) où f est la fonction définie sur R par f(x) = x(x+1)(2x+1) / 6 On a donc: 12+22+...+(n-1)2+n2=n(n+1)(2n+1) / 6 . Par exemple : 12=f(1)= 1x(1+1)x(2x1+1) / 6 et 12+22 = f (2) = 2x(2+1)x(2x2+1) / 6. 1. Calculer f(100).Que vaut la somme des 100 premiers carrés non nuls ( c'est-à-dire 12+22+...+992+1002) ? 2.On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]0;+[. Montrer que si f(x) <=140 alors x 7 ( on pourra penser à la contraposée...) 3. a) Déterminer le plus grand entier n1 tel que la somme 12+22+...+(n1-1)2+n12 des n1 premiers carrés non nuls soit inférieure ou égale à 100, c’est-à-dire le plus grand entier n1 tel que f (n1) ≤ 100. b)Déterminer le plus grand entier n2 tel que la somme des n2 premiers carrés non nuls soit inférieure ou égale à 3000. PARTIE II On s’intéresse aux entiers naturels qui sont la somme de carrés consécutifs d’entiers. C’est le cas par exemple de 50 car : 50 = 32 + 42 + 52. On admet que pour tout entier naturel N inférieur ou égal à 100, l’algorithme ci-dessus nous donne : - aucun message si N n’est pas la somme de carrés consécutifs d’entiers ; - m et k si N est la somme de k carrés d’entiers consécutifs, le plus petit étant m2 -Entrée N Pour K de 1 à 7 Dans A mettre k Dans B mettre A*(A-1)/2 Dans C mettre (B*(2*A-1)/3)-N Dans D mettre B^2-A*C Si :sqrt:D >0 alors Si :sqrt:D est entier alors Dans m mettre (:sqrt:D-B)/A Afficher m,k Fin du Si Fin de la boucle pour 1-Faire fonctionner l'algorithme pour N = 91. Écrire alors 91 comme une somme de carrés consécutifs d'entiers. On veut maintenant que l'algorithme précédent fonctionne pour tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à 3000. 2-Comment changer la 2e ligne (<<Pour k de 1 à 7>>) de l'algorithme pour que celui-ci convienne pour tous les nombres inférieurs ou égaux à 3000 ( on pourra utiliser les résultats de la 1re partie). Aucune justification n'est demandée. 3-On a appliqué le nouvel algorithme à 2010. L'agorithme a donné en sortie : k=5.Quelle est la valeur de m obtenue ? Écrire 2010 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs. 4-Pour cette question, toute trace de recherche sera valorisée. On a appliqué le nouvel algorithme à 2018. L'algorithme a donné en sortie : m=7. Quelle est la valeur de m obtenue ? Écrire 2018 comme une somme de carrés d'entiers consécutifs.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 février 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 février 2011 Bonjour, Ca manque cruellement de proposition tout ça... Partie I : 1) C'est une application numérique toute bête !!!! Tu fais n(n+1)(2n+1)/6 appliqué à 100. Je ne le ferai pas, quand même . 2) La contraposée de f(x) 140 ===> x 7 est x > 7 ===> f(x) > 140. Une expression et sa contraposée sont équivalentes. Si x > 7, on peut écrire par composition que f(x) > f(7) car f est strictement croissante. Or, f(7) = 7*8*15/6 = 140 (au miracle). Donc, on a montré que x > 7 ===> f(x) > 140. Or, sa contraposée nous redonne f(x) <=140 ==> x <=7, CQFD. 3)a) Tu veux résoudre f(n1) 100 ===> f(n1) = 100 car f est strictement croissante. Donc, f(n1) = 100 => n1(n1+1)(2n1+1) = 600. f(1) = 1 f(2) = 5 f(3) = 14 f(4) = 30 f(5) = 55 f(6) = 91 f(7) = 140. Donc, n1 = 6 car 91 < 100 < 140. On aurait pu utiliser la formule démontré en 2) en disant que : f(x) 140 ==> x 7. Or f(6) = 91, donc, n1=6 car c'est le plus grand entier vérifiant f(n1) 100 (tu pouvais y penser car tu sais que 7²=49 => 40). Cette méthode est la meilleure. b) On cherche à résoudre f(n2) 3000. Soit tu testes un par un à la calculatrice (chose possible car tu sais que f est strictement croissante) et tu trouves n2=20. Soit tu trouves une astuce qui te permet de réduire l'étude. Je te propose un encadrement. Pour tout n de N, tu as 2n³/6 f(n) (2n+1)³/6 (en faisant un travail sur les inégalités). n³/3 3000 ==> n<= 30 (2n+1)³/6 ==> n => 12. De là, tu fais une dichotomie, (30+12)/2 = 16 ==> f(16) = 1496. Trop petit car f croissante. (30+16)/2 = 18 ===> f(18) = 2109. Trop petit. (30+18)/2 = 19 ===> f'(19) = 2470. Tu vois que tu es proche de la bonne valeur. Donc, tu testes. f(20) = 2870 et f(21) = 3311. Donc, n2=20. Le truc, c'est de trouver une valeur de n2 par trop éloignée. Après, la vérification est facile. Je te laisse y réfléchir un peu
lolipop390 Posté(e) le 4 février 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 4 février 2011 Merci de ton aide, j'ai finis mon devoir Bonjour, Ca manque cruellement de proposition tout ça... Partie I : 1) C'est une application numérique toute bête !!!! Tu fais n(n+1)(2n+1)/6 appliqué à 100. Je ne le ferai pas, quand même . 2) La contraposée de f(x) 140 ===> x 7 est x > 7 ===> f(x) > 140. Une expression et sa contraposée sont équivalentes. Si x > 7, on peut écrire par composition que f(x) > f(7) car f est strictement croissante. Or, f(7) = 7*8*15/6 = 140 (au miracle). Donc, on a montré que x > 7 ===> f(x) > 140. Or, sa contraposée nous redonne f(x) <=140 ==> x <=7, CQFD. 3)a) Tu veux résoudre f(n1) 100 ===> f(n1) = 100 car f est strictement croissante. Donc, f(n1) = 100 => n1(n1+1)(2n1+1) = 600. f(1) = 1 f(2) = 5 f(3) = 14 f(4) = 30 f(5) = 55 f(6) = 91 f(7) = 140. Donc, n1 = 6 car 91 < 100 < 140. On aurait pu utiliser la formule démontré en 2) en disant que : f(x) 140 ==> x 7. Or f(6) = 91, donc, n1=6 car c'est le plus grand entier vérifiant f(n1) 100 (tu pouvais y penser car tu sais que 7²=49 => 40). Cette méthode est la meilleure. b) On cherche à résoudre f(n2) 3000. Soit tu testes un par un à la calculatrice (chose possible car tu sais que f est strictement croissante) et tu trouves n2=20. Soit tu trouves une astuce qui te permet de réduire l'étude. Je te propose un encadrement. Pour tout n de N, tu as 2n³/6 f(n) (2n+1)³/6 (en faisant un travail sur les inégalités). n³/3 3000 ==> n<= 30 (2n+1)³/6 ==> n => 12. De là, tu fais une dichotomie, (30+12)/2 = 16 ==> f(16) = 1496. Trop petit car f croissante. (30+16)/2 = 18 ===> f(18) = 2109. Trop petit. (30+18)/2 = 19 ===> f'(19) = 2470. Tu vois que tu es proche de la bonne valeur. Donc, tu testes. f(20) = 2870 et f(21) = 3311. Donc, n2=20. Le truc, c'est de trouver une valeur de n2 par trop éloignée. Après, la vérification est facile. Je te laisse y réfléchir un peu
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 4 février 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 février 2011 Je t'en prie. Tu as fini ton devoir ou tu as dépassé la date butoir ? :p
lolipop390 Posté(e) le 5 février 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 5 février 2011 Pardon ? J'ai finis mon DEVOIR ; FINIS !!! Je t'en prie. Tu as fini ton devoir ou tu as dépassé la date butoir ? :p
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 février 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 février 2011 Oki Bon week-end.
concon3131 Posté(e) le 26 avril 2011 Signaler Posté(e) le 26 avril 2011 Peux-tu mettre la correction de ce devoir s'il te plait ?
emmawatson Posté(e) le 24 janvier 2013 Signaler Posté(e) le 24 janvier 2013 merci oups je suis un peu en retard...
emmawatson Posté(e) le 25 janvier 2013 Signaler Posté(e) le 25 janvier 2013 (j'avais le même problème)
Auroredu34 Posté(e) le 14 février 2013 Signaler Posté(e) le 14 février 2013 Excusez moi, je sais que ça fait longtemps que ce sujet a été fermé mais est ce quelqu'un pourrait me dire comment vous avez fait pour trouver f ( 1 ) = 1, f ( 2 ) = 5 , f ( 3 ) = 14 etc etc svp ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 février 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 février 2013 Il te suffit de remplacer successivement x par 1,2,3... dans l'expression de f(x) qui est f(x) = x(x+1)(2x+1) / 6
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