Maths

[rickles]

Bonjour pourriez vous m'aider pour cet exercice =)

Soit g la fonction définie sur ]0;+infine[ par: g(x)=1+x-xlnx.

1)Déterminer les limites aux bornes de son intervalle.

2)Etudier les variations de g

3)a/Prouver l'équation g(x)=0 admet une solution BETA unique dans ]0;+infinie[

b/justifier que 3,5/BETA/3,6

4)Déterminer le signe de g sur son ensemble de definition

[Barbidoux]

Soit g la fonction définie sur ]0;+infine[ par: g(x)=1+x-xlnx.

1)Déterminer les limites aux bornes de son intervalle.

Lorsque x -> ∞ alors f(x)=1+x*(1-ln(x)) ≈ -ln(x) -> - ∞

Lorsque x -> 0 alors x ln(x) ->0 car x> ln(x) >0 ==> f(x)->1

2)Etudier les variations de g

g'(x)=-ln(x)

x.........0.......................1................................

g'(x)..........(+)..........(0).............(-)...............

g(x)....1.....crois.....Max........decrois..........

3)a/Prouver l'équation g(x)=0 admet une solution b unique dans ]0;+infinie[

b/justifier que 3,5/b/3,6

g(x) est décroissante sur ]1, ∞[ et g(3,4)=0,1156 et g[3,6]-0,0114 . La fonction g(x) décroit sur [3,5; 3,6] change de signe sur cet intervalle le graphe de g(x) ce qui montre que le graphe de g(x) coupe l'axe ox sur cet intervalle en un point d'abscisse b qui est solution de l'équation g(x)=0

4)Déterminer le signe de g sur son ensemble de definition

x.........0.......................1...........................b............

g(x)....1.....(+).......Max.=2.......(+).........(0)....(-)..........

[Papy BERNIE]

Bonjour,

Barbidoux ( que je salue au passage) écrit :

Lorsque x -> 0 alors x ln(x) ->0 car x> ln(x) >0

Personnellement, je ne comprends pas d'où vient cette affirmation qui est vraie certes.

[Papy BERNIE]

Le cours dit juste que :

lim (x)/xⁿ =0

x-->+inf

On va revenir à ce cas que j'ai trouvé sur le Net .

x*ln x peut s'écrire :

[-ln (1/x)] / (1/x)]

car -ln(1/x)=- (ln 1 - ln x)=-0 + ln x= ln x

Et quand x tend vers 0+ , alors 1/x tend vers +inf.

donc :

lim (x*ln x)=lim [-ln (1/x)] / (1/x)]=0

x-->0+ ......... 1/x-->+inf

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Barbidoux ( que je salue au passage) écrit :

Lorsque x -> 0 alors x ln(x) ->0 car x> ln(x) >0

Personnellement, je ne comprends pas d'où vient cette affirmation qui est vraie certes.

[Papy BERNIE]

Bonjour Bolzmann_Solver,

merci pour toutes ces explications .

Et pour la limite en +inf,

je crois qu'il serait bon de dire :

x-xln x=x(1 - lnx)

x tend vers +inf

1-lnx tend vers - (+ inf) donc -inf

donc par produit :

x(1-ln x ) tend vers -infini.

donc g((x) tend vers -infin.

On n'est jamais trop explicite.

[Boltzmann_Solver]

J'ai un peu mieux, en utilisant que ln(1-x) = -somme(x^(k+1)/(k+1),k,0,+inf) pour tout |x| < 1 => ln(y) = -somme((1-y)^(k+1)/(k+1),k,0,+inf) pour y dans ]0,2[

Donc, lim_{y-->0+} ln(y)*y = lim_{y-->0+} -y*somme((1-y)^(k+1)/(k+1),k,0,+inf) = lim_{y-->0+} -y = 0- car c'est un polynôme infini, donc, on prend le terme de plus bas degré en 0.

Bonjour Bolzmann_Solver,

merci pour toutes ces explications .

Et pour la limite en +inf,

je crois qu'il serait bon de dire :

x *ln x=x(1 - lnx)

x tend vers +inf

1-lnx tend vers - (+ inf) donc -inf

donc par produit :

x(1-ln x ) tend vers -infini.

On n'est jamais trop explicite.

[Papy BERNIE]

Oh là, ta dernière réponse devient un peu compliquée pour moi !!

Par ailleurs :

Je ne suis pas d'accord pour le gras. x*(1-ln(x)) = x - x*ln(x). Ca n'est pas x*ln(x).

[Boltzmann_Solver]

Pour vous en convaincre, il y a une démo dans l'article wikipédia des croissances comparées : http://fr.wikipedia...._compar%C3%A9es

[Barbidoux]

Exact, j'ai pas vérifié mon envoi alors que j'avais effacé une partie de la démonstration lors d'une opération de copier-coller (je rencontre qq problèmes depuis que j'ai modifié les possibilité d'édition de mon navigateur Safari...)

Je suis allé trop vite et j'ia mal recopié Soit g la fonction définie sur ]0;+infine[ par: g(x)=1+x-xlnx.

1)Déterminer les limites aux bornes de son intervalle.

Lorsque x -> ∞ alors f(x)=1+x*(1-ln(x)) ≈ -ln(x) -> - ∞

Lorsque x -> 0 alors x ln(x) ->0 car x >ln(x)>0 ( lorsque x-> ~∞. En effet si on pose y=1/x alors lim x*ln(x) quand x->0 ~ lim -ln(y)/y lorsque y-> ∞ et comme y>ln(y) alors ==>lim -ln(y)/y -> 0- lorsque y-> ∞ ==> x ln(x) -> 0- lorsque x -> 0) = => f(x)->1

désolé et merci d'avoir rectifié...