Aide Pour Mon Dm De Math

[chocali]

Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide pour mon DM de math. Merci à tous les courageux et courageuses.

Exercice 1 :

Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6 dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique. On suppose q'une poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r (en dm). On cherche à déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximal.

1. a) Exprimer r en fonction de h.

b) Démontrer que le volume V du cylindre en dm^3 peut s'écrire sous la forme V(h)=2TT* (-h^3 +36h)

Je sais que le volume d'un cylindre est : V=TT*R^2*h donc cela me donne V(h)= TT*r^2*2h

2. a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximal.

b) Déterminer la valuer exacte de ce voume en dm^3.

c) Donner l'arrondi à l'unité de ce volume.

Exercice 2 :

Le Prince de Toscane demande un jour à Galilée : " Pourquoi, lorsqu'on jette trois dés, obtient-on plus souvent la somme 10 que la somme 9 bien que ces deux sommes soient obtenues chacune de six façons différentes ? "

9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3

10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4

1.Modélisation de l'expérience

a) Une issue de l'expérience est une suite de trois nombres entiers compris entre 1 et 6.

Combien l'expérience compte-t-elle d'issues ?

L'expérience comporte 216 issues.(6*6*6)

b) Expliquer pourquoi peut-on modéliser l'expérience avec la loi équirépartie.

On le peut car on possède la même chance de tomber sur chaque chiffre puisque le dé est équilibré.

c) X est la variable aléatoire qui à chaque issue associe la somme des nombres obtenus.

Ecrire toutes les issues qui réalisent l'évènement (X=9) et celles qui réalisent l'évènement (X=10).

(X=9)={ 1,2,6 / 1,6,2 / 2,1,6 / 2,6,1 / 6,1,2 / 6,2,1 / 1,3,5 / 1,5,3 / 3,1,5 / 3,5,1 / 5,1,3 / 5,3,1 / 1,4,4 / 4,1,4 / 4,4,1 / 2,2,5 / 2,5,2 / 5,2,2 / 2,3,4 / 2,4,3 / 3,2,4 / 3,4,2 / 3,3,3 }

(X=10)={ 1,3,6 / 1,6,3 / 3,1,6 / 3,6,1 / 6,1,3 / 6,3,1 / 1,4,5 / 1,5,4 / 4,1,5 / 4,5,1 / 5,1,4 / 5,4,1 / 2,2,6 / 2,6,2 / 6,2,2 / 2,3,5 / 2,5,3 / 3,5,2 / 3,2,5 / 5,2,3 / 5,3,2 / 2,4,4 / 4,2,4 / 4,4,2 / 3,3,4 / 3,4,3 / 4,3,3 }

d) En déduire alors les probabilités de ces deux évènements.

P(X=9)= 23/216

P(X=10)= 27/216

2. La réponse de Galilée

Imaginer après le travail réalisé, la réponse de Galilée au Prince de Toscane. Expliquer l'erreur qui consiste à dire que les deux 9 et 10 sont obtenues de six façons.

Les chiffres 9 et 10 ne sont pas obtenues à partir de six façons différentes mais elles sont obtenues par 6 combinaisons de chiffres différentes qui peuvent être associées à chacun des trois dés donc cela donne beaucoup plus de façons que prévu.

Exercice 3 :

Le chevalier de Méré, philosophe et homme de lettres pose le problème suivant au mathématicien Blaise Pascal. " Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir au moins au six en quatre lancers d'un dé, ou obtenir au moins un double-six en lançant vingt-quatre fois deux dés ?"

1. On lance un dé quatre fois de suite.

a) Quel est le nombre d'issues de l'expérience ?

L'expérience possède 1296 issues.

b) A est l'évènement : "Obtenir au moins un six".

Définir l'évènement A"barre" et calculer sa probabilité.

En déduire la probabilité de A.

A"barre" : "Ne pas obtenir un six"

2. On lance maintenant deux dés vingt-quatre fois de suite.

a) Montrer que le nombre d'issues de l'expérience est 36^24.

b) B est l'évènement : "Obtenir au moins un double-six".

Définir l'évènement B"barre" et calculer sa probabilité.

En déduire la probabilité de B.

B"barre" : "Ne pas obtenir de double-six"

3. Répondre au chevalier de Méré.

Merci encore à vous.

[Barbidoux]

Exercice 1 :

Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6 dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique. On suppose q'une poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r (en dm). On cherche à déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximal.

1. a) Exprimer r en fonction de h.

Pythagore ==> h^2+r^2=R^2=36 ==> r=√(36-h^2)

b) Démontrer que le volume V du cylindre en dm^3 peut s'écrire sous la forme V(h)=2TT* (-h^3 +36h)

V=Pi*r^2*(2*h)=Pi*(36-h^2)*2*h=2*Pi*(36*h-h^3)

2. a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximal.

V'=2*PI*(36-2*h^2)=4*Pi*(18-h^2). Ce polynôme s'annule pour h=-√18 et h=√18 et est du signe de h^2 à l'extérieur de ses racines.

h........................(-√18)...............(√18).................

V'............(-)..........(0).........(+).........(0).......(-)......

V........decrois......Min......crois.......Max.....decrois....

V_max pour x=√18

b) Déterminer la valuer exacte de ce voume en dm^3.

V_max=2*Pi*(36*√18-(√18)^3)=Pi*108*√2=479,83 dm^3

c) Donner l'arrondi à l'unité de ce volume.

V_max=480 dm^3.

A vérifier.....

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Pour l'exercice n°2, les réponses de la question 1 sont justes. A la rigueur, tu aurais pu faire des dénombrements en utilisant les termes combinatoires.

123, tu as 3! possibilités de l'obtenir, soit 6 combinaisons.

224, tu as C(3,2) possibilités de l'obtenir. Soit, 3!/(2!*1!) = 3 combinaisons.

Comme ça avec les nombre de motifs de chaque combinaison, tu peux dire les issues favorables de chaque événement. Mais ce que tu as fait est déjà bien !!!

Pour le 2), je ne distingue pas les questions de réponses. Pourrais tu éclaircir s'il te plait.

[chocali]

Bien sur c'est :

2. La réponse de Galilée

a)Imaginer après le travail réalisé, la réponse de Galilée au Prince de Toscane. Expliquer l'erreur qui consiste à dire que les deux 9 et 10 sont obtenues de six façons.

Les chiffres 9 et 10 ne sont pas obtenues à partir de six façons différentes mais elles sont obtenues par 6 combinaisons de chiffres différentes qui peuvent être associées à chacun des trois dés donc cela donne beaucoup plus de façons que prévu.

Merci à vous deux.

[Boltzmann_Solver]

Exercice n°3 :

1)a) Un peu de détail je te prie.

Omaga = 6^4 = 1296. Sinon, ton résultat est juste.

b) P(barré(A)) = 5^4/1296 (tous les cas sauf avoir un 6) = 625/1296 = 48%. Donc, P(A) = 52%

La partie 2 est bizarre. Si on considère les lancés non simultanés, ce qui revient à dire que tu lances 2 fois un dé. Alors, tu as bien 6^2 cas possibles. Les expériences étant indépendantes, les cas possibles seront de (6^2)^24 = 36^24.

Si on considère le lancé comme simultané, on a (6^2-6)/2+6 = 21 cas possibles. Qui mit en 24 lancés donne 21^24.

Vu que l'on te dit que prendre 36^24, on ne suivra pas l'énoncé en disant que le lancé n'est pas simultané. Et je continue avec cette hypothèse.

b) L'événement contraire, c'est d'avoir au plus un 6 à chaque lancé.

P(barré(B)) = ((6^2-1)/6^2)^24 = 51%

P(B) = 49%.

3) Je te laisse lui répondre à ce brave chevalier.

Bien sur c'est :

2. La réponse de Galilée

a)Imaginer après le travail réalisé, la réponse de Galilée au Prince de Toscane. Expliquer l'erreur qui consiste à dire que les deux 9 et 10 sont obtenues de six façons.

Les chiffres 9 et 10 ne sont pas obtenues à partir de six façons différentes mais elles sont obtenues par 6 combinaisons de chiffres différentes qui peuvent être associées à chacun des trois dés donc cela donne beaucoup plus de façons que prévu.

Merci à vous deux.

[chocali]

Merci beaucoup à vous deux.

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup à vous deux.