Equations

[lolipop390]

Bonjours,

Pourriez-vous m'aidez sur ce sujet.

Merci d'avance.

1. Démontrer que : x 2 +x − 992 = (x − 31)(x + 32) .

2.

Le nombre 1985 est la somme de 2 carrés d’entiers positifs consécutifs (comme 5 = 12 + 22 et

85 = 62 + 72 ). Déterminer ces deux entiers.

3. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera valorisée.

Montrer que 1969 est la somme de 11 carrés d’entiers consécutifs.

[Kayumie]

Salut !

Pour ce qui est de ton premier numéro : Démontrer que : x ² +x − 992 = (x − 31)(x + 32), voici comment il est possible procédé, puisque plusieurs options sont intéressantes. Le but est donc d'obtenir le même polynome de chaque côté de l'équation.

PREMIÈRE POSSIBILITÉ

1) Tout d'abord, il est possible de distribuer la première parenthèse (x-31) sur la deuxième (x+32), donc on multipi x par x, x par 32, -31 par x et -31 par 32.

x² + x - 992 = x² + 32x -31x - 992

2) Puis on procède à la simplification, ce qui fait en sorte que cela devient.

x² + x - 992 = x² + x -992

3) Les deux équations sont égales de chaque côté alors l'affirmation est démontrée

DEUXIÈME POSSIBILITÉ

1) Tout d'abord, il est aussi possible de faire une double mise en évidence par un procédé de produit comme. Donc on recherche deux chiffres qui additionné ensemble donne la somme de 1 et qui multiplié ensemble donne 992. On peut donc déterminer les chiffres de -31 et 32.

2) Par la suite on procède donc à la double mise en évidence ce qui devient

(x - 31)(x + 32) = (x - 31)(x + 32)

3) Les deux équations sont donc égales de chaque côt. alors l'affirmation de départ est validée.

Pour les autres questions, je te reviens la-desuss très bientôt, puisque je dois aller au collège à l'instant !

En espérant que cela t'ai aidé,

Kayumie

[gamy]

Pour Lolipop:

Pour écrire ², tu cliques sur la touche qui est à gauche de ton clavier à côté du 1.

Bonne journée.

[pzorba75]

Bonjours,

Pourriez-vous m'aidez sur ce sujet.

Merci d'avance.

1. Démontrer que : x 2 +x − 992 = (x − 31)(x + 32) .

x^2+x-992=x^2+x+1/4-1/4-992=(x+1/2)^2-(1+992*4)/4=(x+1/2)^2-3969/4=(x+1/2)^2-(63/2)^2=(x+1/2+63/2)(x+1/2-63/2)=(x+32)(x-31)

2.

Le nombre 1985 est la somme de 2 carrés d'entiers positifs consécutifs (comme 5 = 12 + 22 et

85 = 62 + 72 ). Déterminer ces deux entiers.

La question n'est pas claire.

3. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera valorisée.

Montrer que 1969 est la somme de 11 carrés d'entiers consécutifs.

Tu peux faire un tableau Excel ou openOffice.calc de 11 chiffres consécutifs sur une colonne, tu crées une colonne avec les carrés de ces 11 chiffres, tu sommes et tu trouveras facilement les 11 chiffres de 8^2+9^2+.....+18^2=1969, année érotique disait Serge Gainsbourg.

Ce n'est pas une démonstration, c'est du tableur!

[Boltzmann_Solver]

Bonjour à tous,

Ca fait plaisir à voir un fil aussi animé. D'ailleurs, j'en profite pour souhaiter la bienvenue à kayumie.

Je vais vous donner la méthode pour la dernière. C'est vraiment limite pour la seconde.

L'astuce est d'utiliser (n+1)³. Si tu as vu les identités remarquables des cubes, tu réponds, sinon, tu utilises (n+1)(n+1)² = (n+1)(n²+2n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1.

Donc, tu as (n+1)³-n³ = 3n²+3n+1 pour tout entier.

On te dit que l'on souhaite trouver la somme de 11 entiers au carré consécutifs. Donc, on somme l'égalité du dessus de n=j à n=j+10.

(j+11)³-j³ = 3*(somme des entiers au carré de j à j+10) + 3*somme des entiers de j à j+10 + 11

Pour la somme des entiers, on a j + j+1 + j+2 + .. + j+10 = 11j + 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 11j + 66

Donc, (j+11)³ - j³ = 3*(somme des entiers au carré de j à j+10) + 11j + 77 = 3*(somme des entiers au carré de j à j+10) + 11(j + 7)

Donc, (somme des entiers au carré de j à j+10) = ((j+11)³ - j³ - 11(j + 7)) / 3. Ici, tu as une expression un peu compliquée. Mais avec un peu de courage, tu peux simplifier en 11j² + 110j + 385 (si tu connais a³-b³, ça va assez vite).

Donc, tu cherches à résoudre 11j² + 110j + 385 = 1969.

A partir de là, plusieurs méthodes, y aller à taton. Tracer la courbe 11j² + 110j + 385 - 1969 et regarder ou la courbe coupe 0. Ou résoudre l'équation à l'aide de la forme canonique. Je te montre la dernière.

11j² + 110j + 385 = 1969

11j² + 110j + 385 - 1969 = 0

11j² + 110j - 1584 = 0

j² + 10j - 144 = 0

j² + 2*5*j - 12² = 0

j² + 2*5*j + 5² - 5² - 12² = 0

(j+5)² = 5²+12² = 169 = 13²

Ici, tu as j+5 = 13 ou j+5 = -13 => j = 13-5 = 8 ou j = -13-5 = -18.

Vu que l'on veut des entiers naturel, seul j=8 est intéressant.

En conclusion, la somme ayant pour résultat 1969 est la somme des 11 carrés consécutifs commençant par 8.

[lolipop390]

Bonjour à tous,

Ca fait plaisir à voir un fil aussi animé. D'ailleurs, j'en profite pour souhaiter la bienvenue à kayumie.

Je vais vous donner la méthode pour la dernière. C'est vraiment limite pour la seconde.

L'astuce est d'utiliser (n+1)³. Si tu as vu les identités remarquables des cubes, tu réponds, sinon, tu utilises (n+1)(n+1)² = (n+1)(n²+2n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1.

Donc, tu as (n+1)³-n³ = 3n²+3n+1 pour tout entier.

On te dit que l'on souhaite trouver la somme de 11 entiers au carré consécutifs. Donc, on somme l'égalité du dessus de n=j à n=j+10.

(j+11)³-j³ = 3*(somme des entiers au carré de j à j+10) + 3*somme des entiers de j à j+10 + 11

Pour la somme des entiers, on a j + j+1 + j+2 + .. + j+10 = 11j + 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 11j + 66

Donc, (j+11)³ - j³ = 3*(somme des entiers au carré de j à j+10) + 11j + 77 = 3*(somme des entiers au carré de j à j+10) + 11(j + 7)

Donc, (somme des entiers au carré de j à j+10) = ((j+11)³ - j³ - 11(j + 7)) / 3. Ici, tu as une expression un peu compliquée. Mais avec un peu de courage, tu peux simplifier en 11j² + 110j + 385 (si tu connais a³-b³, ça va assez vite).

Donc, tu cherches à résoudre 11j² + 110j + 385 = 1969.

A partir de là, plusieurs méthodes, y aller à taton. Tracer la courbe 11j² + 110j + 385 - 1969 et regarder ou la courbe coupe 0. Ou résoudre l'équation à l'aide de la forme canonique. Je te montre la dernière.

11j² + 110j + 385 = 1969

11j² + 110j + 385 - 1969 = 0

11j² + 110j - 1584 = 0

j² + 10j - 144 = 0

j² + 2*5*j - 12² = 0

j² + 2*5*j + 5² - 5² - 12² = 0

(j+5)² = 5²+12² = 169 = 13²

Ici, tu as j+5 = 13 ou j+5 = -13 => j = 13-5 = 8 ou j = -13-5 = -18.

Vu que l'on veut des entiers naturel, seul j=8 est intéressant.

En conclusion, la somme ayant pour résultat 1969 est la somme des 11 carrés consécutifs commençant par 8.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Tu as vraiment tout compris à mon explication ?

Je suis assez surpris. C'est vrai que je t'ai donné la solution mais ça reste long comme raisonnement à ton niveau (mais c'est le plus court que je vois sans utiliser des résultats trop puissant).

Si ça roule, tant mieux.