cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Bonjour, Voici l'énoncé de mon exercice de maths, suivi de mes réponses. Pouvez-vous me dire ce qui est correct et ne l'est pas svp. D'avance, merci. On considère la fonction f définie par : f(x) = [ (1-x) / (1+x) ] C est sa courbe représentative dans le repère orthogonal (O;, ) 1- Déterminer D, l'ensemble de définition de la fonction f. 2- Déterminer la limite de la fonction en -1. 3- f est-elle continue sur D ? 4- Etudier la dérivabilité de la fonction sur D. 5- Déterminer la dérivée de la fonction f, puis montrer alors que cette fonction f est strictement décroissante sur D. 6- Déterminer une équation de , la tangente à C au point d'abscisse 0. 7- Etudier la position relative des deux courbes. 8- Tracer les deux courbes C et . ___________________________________________ 1- (1-x) / (1+x) 0 1-x = 0 -x = -1 x = 1 1+x = 0 x = -1 Df = ]-1;1[ 2- lim (1-x) = 2 x -1 lim (1+x) = 0+ x -1+ lim [(1-x) / (1+x) ] = + x-1+ lim X = + x+ Donc lim f(x) = + x-1 3- f(x) est une fonction racine carrée donc c'est une fonction usuelle. Or les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition. Donc f(x) est continue sur ]-1;1[ 4- La fonction XX est définie sur [0; +[ mais elle n'est pas dérivable en 0. Donc Df' = ]0; +[ 5- On a u avec u: x (1-x) / (1+x) On dresse un tableau de signes de u(x) : D'après ce tableau, u est strictement positive et dérivable sur : ]-; -1 [ U ] 1; +[ On a u'(x) = [ -1 x (1+x) - (1-x)(-1)] / [(1+x)² ] = (-2x) / (1+x)² f'(x) = [ u'(x)] / [ 2u(x) ] = [(-2x) / (1+x)² ] / [2(1-x)/(1+x) ] = [(-2x) / (1+x)² ] [(1+x)/(1-x) ] Tableau de signe : f : croissante sur ]-; 0[ puis décroissante sur ]0; +[ Cela doit être faux ! Car, je ne trouve pas f strictement décroissante sur ]-1;1[ mais seulement sur [0;+[ 6- Equation de la tangente au point d'abscisse 0 : Le coeff directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est : f'(0) = 0 L'ordonnée du poit d'abscisse 0 est : f(0) = 1 y = -1 7- La position de la courbe par rapport à sa tangente est donnée par le signe de : h(x) = f(x) - y = [ 1-x - 1+x ] / [(1+x)] Le numérateur me perturbe pour la réalisation d'un tableau de signe. 8- Je vais faire cela à l'aide de géogebra.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Bonjour, Voici l'énoncé de mon exercice de maths, suivi de mes réponses. Pouvez-vous me dire ce qui est correct et ne l'est pas svp. D'avance, merci. On considère la fonction f définie par : f(x) = [ (1-x) / (1+x) ] C est sa courbe représentative dans le repère orthogonal (O;, ) 1- Déterminer D, l'ensemble de définition de la fonction f. 2- Déterminer la limite de la fonction en -1. 3- f est-elle continue sur D ? 4- Etudier la dérivabilité de la fonction sur D. 5- Déterminer la dérivée de la fonction f, puis montrer alors que cette fonction f est strictement décroissante sur D. 6- Déterminer une équation de , la tangente à C au point d'abscisse 0. 7- Etudier la position relative des deux courbes. 8- Tracer les deux courbes C et . ___________________________________________ 1- (1-x) / (1+x) 0 1-x = 0 -x = -1 x = 1 1+x = 0 x = -1 Df = ]-1;1[ Commentaire : ta rédaction est mauvaise. Le début, de dire que (1-x) / (1+x) 0 est très bonne mais après, il faut faire un tableau de signe et non résoudre des égalité. Si tu l'avais fait, tu aurais vu que le Df = ]-1,1]. Mais par contre, ta fonction est dérivable sur ]-1,1[. Mais ça, c'est une autre histoire. 2- lim (1-x) = 2 x -1 lim (1+x) = 0+ x -1+ lim [(1-x) / (1+x) ] = + x-1+ lim X = + x+ Donc lim f(x) = + x-1 Ok, mais dit que tu utilises la propriété de composition des limites. 3- f(x) est une fonction racine carrée donc c'est une fonction usuelle. Or les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition. Donc f(x) est continue sur ]-1;1[ Mouais, je ne pense pas que tu comprennes ce que tu dis. Dis plutôt que f est continue sur Df comme somme,quotient et composition de fonction continues sur leurs Df respectifs et ne s'annulant pas au quotient. De plus, je te conseille de détailler un peu cette phase en décrivant les somme, quotient composition. 6- Equation de la tangente au point d'abscisse 0 : Le coeff directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est : f'(0) = 0 L'ordonnée du poit d'abscisse 0 est : f(0) = 1 y = -1 7- La position de la courbe par rapport à sa tangente est donnée par le signe de : h(x) = f(x) - y = [ 1-x - 1+x ] / [(1+x)] Le numérateur me perturbe pour la réalisation d'un tableau de signe. 8- Je vais faire cela à l'aide de géogebra.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 On considère la fonction f définie par : f(x) = [ (1-x) / (1+x) ] C est sa courbe représentative dans le repère orthogonal (O;, ) 1- Déterminer D, l'ensemble de définition de la fonction f. f(x)=√((1-x)/(1+x)) x..............................(-1)......................(1)................. (x+1)..................(-).....0..........(+)..................(+)........ (1-x)...................(+)................(+).........(0)......(-)......... (1-x)/(1+x)...........(-).....||..........(+)..........(0).....(-)......... définie sur ]-1,1] 2- Déterminer la limite de la fonction en -1. f(-1+)=√(2/O+)= 3- f est-elle continue sur D ? Oui car si x->x0 alors lim (f(x0) = f(x0) 4- Etudier la dérivabilité de la fonction sur D. La fonction √y est définie sur [0, [ n'est pas dérivable en y=0 donc f(x) est dérivable sur D\{1} soit ]-1, 1[. Pour x->1 √((1-(1-h)/(1+1-h))/ h -> lorsque h->1 ce qui veut dire que la fonction f(x) qui vaut f(1)=0 admet une demi-tangente verticale en x=1 5- Déterminer la dérivée de la fonction f, puis montrer alors que cette fonction f est strictement décroissante sur D. f'(x)=(-(1 - x)/(x + 1)^2 - 1/(x + 1))/(2 √((1 - x)/(x + 1)))=-1/((x + 1)^2*√((1 - x)/(x + 1))<0 qq soit x et f(x) est une fonction décroissante sur son intervalle de défintion 6- Déterminer une équation de , la tangente à C au point d'abscisse 0. y=f'(0)*(x-0)+f(0)= -x+1 7- Etudier la position relative des deux courbes. f(x)-(1-x) =√((1-x)/(1+x)-(1-x)= √(1-x)*(1/√(1+x)-√(1-x))=√(1-x)*(1-√(1-x^2)/(√(1+x) or comme 1+√(1-x^2) >0 ==> f(x)-(1-x)>0 et le graphe de f(x) est situé au dessus de celui de sa tangente su D 8- Tracer les deux courbes C et .
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Merci de votre réponse. Pour la 1, je viens bien de comprendre l'erreur de mon ensemble de déf en faisant un tableau de signe. Pour la 3, j'ai écrit ça mot pour mot dans une remarque de mon cours, donc je pensais que je pouvais le replacer ici. Mais effectivement votre réponse est plus complète. Pour la 4, je ne comprends pas comment on arrive à ce domaine de dérivabilité... Désolée. Je suis en train de revoir la fin.... =)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Merci de votre réponse. Pour la 1, je viens bien de comprendre l'erreur de mon ensemble de déf en faisant un tableau de signe. Pour la 3, j'ai écrit ça mot pour mot dans une remarque de mon cours, donc je pensais que je pouvais le replacer ici. Mais effectivement votre réponse est plus complète. Pour la 4, je ne comprends pas comment on arrive à ce domaine de dérivabilité... Désolée. Je suis en train de revoir la fin.... =)
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Je ne comprends pas les réponses 3 et 4 de Barbidoux....
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Je ne comprends pas les réponses 3 et 4 de Barbidoux....
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 OUI ! J'ai mis du temps mais c'est enfin compris ! Merci beaucoup... Je continue... =)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 OUI ! J'ai mis du temps mais c'est enfin compris ! Merci beaucoup... Je continue... =)
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Pour la 5 : C'est bien la propriété de dérivation des fonctions composées que vous avez utilisé ? ==> f'(x) = u' (x) . g' [ u (x) ] En faisant cela, je ne retrouve pas pareil que vous...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Pour la 5 : C'est bien la propriété de dérivation des fonctions composées que vous avez utilisé ? ==> f'(x) = u' (x) . g' [ u (x) ] En faisant cela, je ne retrouve pas pareil que vous...
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Alors, pour moi : u(x) = (1-x) / (1+x) u'(x) = -2 / (1+x)² g(x) = X g'(x) = 1 / (2x) Déjà, est ce que ça c'est correct ? u(x) = (1-x) / (1+x) Donc u'(x) = -2 / (1+x)² ET g(x) = X Donc g'(x) = 1 / (2x) ==> f'(x) = u' (x) . g' [ u (x) ] = -2 / (1+x)² . 1 / (2x) (1-x) / (1+x) ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 Alors, pour moi : u(x) = (1-x) / (1+x) u'(x) = -2 / (1+x)² g(x) = X g'(x) = 1 / (2x) Déjà, est ce que ça c'est correct ? Oui u(x) = (1-x) / (1+x) Donc u'(x) = -2 / (1+x)² ET g(x) = X Donc g'(x) = 1 / (2x) ==> f'(x) = u' (x) . g' [ u (x) ] = -2 / (1+x)² . 1 / (2x) (1-x) / (1+x) ?
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 J'ai vraiment du mal à voir les étapes du calcul... et je m'y perds ! Je ne comprends pas pourquoi f' (x) = ( - 2 / (1+x)² ) . (1/ 2:sqrt:( (1-x)/(1+x) ) ] ????? Et en admettant cela, je ne comprends pas pourquoi il reste (-2/2) ?? On ne peut pas annuler les 2 et il resterait donc : f'(x) = -1 / [ (1+x)² . ((1-x)/(1+x)) ] ???
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 3 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 J'ai vraiment du mal à voir les étapes du calcul... et je m'y perds ! Je ne comprends pas pourquoi f' (x) = ( - 2 / (1+x)² ) . (1/ 2:sqrt:( (1-x)/(1+x) ) ] ????? Et en admettant cela, je ne comprends pas pourquoi il reste (-2/2) ?? On ne peut pas annuler les 2 et il resterait donc : f'(x) = -1 / [ (1+x)² . ((1-x)/(1+x)) ] ???
cigale Posté(e) le 3 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2010 D'accord =D Merci pour tout. Bonne nuit...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 4 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 octobre 2010 D'accord =D Merci pour tout. Bonne nuit...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 4 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 octobre 2010 le calcul de la dérivée.... Un salut amical à BS je pensais absent ce soir...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 4 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 octobre 2010 le calcul de la dérivée.... Un salut amical à BS je pensais absent ce soir...
cigale Posté(e) le 4 octobre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 4 octobre 2010 Merci bien ! En effet je visualise mieux le calcul ainsi ... Par contre, je sais bien que a² - b² = (a-b) (a+b)... Mais comme on avait un quotient : (1-x) / (1+x) , comment cela est-il possible de faire intervenir cette identité remarquable ? Je suppose qu'il y a "un truc" avec le carré de (1+x) puisqu'il disparait à la fin... ? P.S. : Pouvez-vous me dire à l'aide de quoi vous faites les pièces-jointes "en langage humain" .... ? C'est nettement plus pratique!
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 4 octobre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 octobre 2010 Bonsoir Cigale, Tu as un (1+x)² = (1+x)*(1+x) = (1+x)*sqrt((1+x)²). En réunissant les racines, tu as le (1+x) qui se simplifie et il te reste (1-x)(1+x) sous la racine. Or, a²-b² = (a-b)(a+b). Donc, tu as (1+x)*sqrt(1²-x²) (et 1²=1). Pour écrire les formules, on utilise le langage latex. Mais je te préviens, ça demande un peu de pratique avant d'y arriver. Pour commencer, il existe sous linux kformula qui permet de faire ce genre de document sans connaître le langage.
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