Exercice Non Compris .

[picsou974]

Bonjour, en fait j'ai un exercice à rendre et j'ai un peu de mal car je le trouve plutôt chaud comme exo. Voila l'énoncé :

Le flocon de Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.

Le segment [AB] est transformé en une ligne brisée de 4 segment de longueur 1/3.

(voir figure du segment [AB])

1/ Nombre de côtés:

On note C_n le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape n.

a/Calculer C₁, C₂, C₃, C₄.

b/ Démontrer que la suite (C_n) n1 est géométrique. Exprimer C_n en fonction de n.

2/Périmètre :

On note U_n la longueur d'un segment à l'étape n.

a/ Démontrer que la suite (U_n) n1 est géométrique. Exprimer U_n en fonction de n.

b/ Démontrer que le périmètre du flocon à l'étape n est donnée par :

p_n = 3*(4/3)^n-1.

3/L'aire :

On note a_n l'aire du flocon à l'étape n.

a/ Calculer a₁

b/De l'étape n à l'étape n+1, l'aire est augmentée de celle des C_n triangles équilatéraux de côté u_n+1.

En déduire a_n+1 - a_n en fonction de n.

c/ Calculer (a_n - a_n-1) + ... + (a₂ - a₁) de deux façons différentes. En déduire la valeur de a_n pour n2.

d/ Donner une valeur approchée de a₅₀ arrondie au millième.

Merci d'avance.

[picsou974]

J'ai réussi le 1-a) et pour le 1-b) je ne suis pas trop sûr en faite ...

[Boltzmann_Solver]

J'ai réussi le 1-a) et pour le 1-b) je ne suis pas trop sûr en faite ...

[picsou974]

Désolé, je n'avais pas vu votre réponse. Depuis, j'ai fait jusqu'au 3-b)

Voila mes réponses :

1-

a) C1= 3 ; C2= 12; C3=48; C4 = 192

b) Un ensemble "sommet-côté" est transformé en un ensemble "4 sommets-4 côtés". Donc Cn+1= 4xCn ( 4= raison q)

Ainsi la suite C est géométrique car il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, Cn+1 = q x Cn

Cn= Cp x q^n-p

Cn= 3 x 4^n-1

2-

a) Nous pouvons voir qu'un segment de longueur 1 est transformé en une ligne brisé de 4 segments de longueur 1/3 lorsque l'on passe a l'étape suivante.

Donc Un+1 = 1/3 x Un

Ainsi la suite U est géométrique car il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, Un+1 = q x Un

Un= Up x q^n-p

Un= U1 x (1/3)^n-1

Un= 1/3^n-1

b) Nous pouvons voir qu'à n=1, la figure est composée de 3 segments de longueur 1. Donc P1 sera égal à 3 fois la longueur d'un segment.

Donc P1= 3 x1 = 3

Aussi, P2 = 3 x 4/3= P1 x q (4/3 = longueur de la ligne brisée en étape 2)

Donc Pn+1 = q x Pn. La suite P est donc géométrique.

Ainsi Pn= Pp x q^n-p

Comme P= 1, Pp=3 et q = 4/3 donc Pn = 3 x (4/3)^n-1

3-

a) A l'étape 1, la figure est un triangle équilatéral de côté 1.

L'aire d'un triangle quelconque est définie par : A= (b x h) /2

Ici, b=1

Pour calculer la hauteur, nous pouvons utiliser Pythagore (j'ai refait un triangle équilatéral et j'ai montré pourquoi l'on peut utiliser Pythagore etc...)

Donc h = V3 / 2

a1= (1 x V3/2) /2

a1= V3/2 x 1/2

a1= V3 /4

b) On sait que Un = 1/3^n-1, d'où Un+1 = 1/3^n+1-1= 1/3^n

Aussi, d'après les hypothèses, on sait que " De l'étape n à l'étape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de côté Un+1"

Donc, an+1 = an+Cn(Un+1)² x (V3/4)

an+1 - an = 3x 4^n-1 x (1/3^n)² x (V3/4)

an+1 - an = 3 x 4^n-1 x (1^n x 3^n) x (V3/4)

an+1 - an = 3 x 4^n-1 x (V3/9^nx4)

an+1 - an = (4^n-1 x 3 x V3) / (9^n-1 x 9 x 4)

an+1 - an = V3 / 12x (4-9)^n-1

ET LA JE BLOQUE. CAR IL FAUT CALCULER CELA DE DEUX FACONS, ET JE NE TROUVE PAS LA DEUXIEME FACON ...

[pzorba75]

Problème ultra classique en 1S.

Tu peux t'inspirer de ce document.

Bon courage.

[pzorba75]

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[picsou974]

Merci beaucoup, ça m'a aidé à confirmer l'exactitude de mes réponses. Mais ça ne m'aide pas sur ce que je bloque, car les questions à la fin ne sont pas les mêmes, et il n'y a donc pas de "piste" pour moi.