Dm Maths 1°Es

[Footeuse64]

Bonjour, j'ai un DM de math a faire et je n'y arrive pas.

Je connais juste la formule de la tangente et je pense savoir comment calculer f'(x) mais je n'en suis pas sur du tout.

Si quelqu'un pourrait m'aider svp.

La courbe C ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur]0 ; +∞ [par f(x)=ax+b+(c/x) où a, b et c sont des réels à déterminer.

1.

a. Calculer f'(x) en fonction de a et de c

b. Exprimer qua A et B sont des points de C et qu'en A la tangente à C est horizontale.

c. En déduire un système d'inconnues a, b et c ; le résoudre et en déduire l'expression f(x).

2.

a. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur]0 ; +∞ [par f(x)=x-5 + (16/x).

b. Soit D la droite d'équation y= x-5. Etudier le signe de f(x)-(x-5). En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D.

c. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à C au point d'abscisse 2 et de la tangente T' au point d'abscisse 8.

d. Trouver le point d'intersection des tangentes T et T'.

[Barbidoux]

La courbe C ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur]0 ; +∞ [par f(x)=ax+b+(c/x) où a, b et c sont des réels à déterminer.

1. a. Calculer f'(x) en fonction de a et de c

f’(x)=a-c/x^(2)

b. Exprimer qua A et B sont des points de C et qu'en A la tangente à C est horizontale.

A{4, 3} ==> f(4)=3 =4*a+b+c/4 ==>12=16*a+4*b+c

B{2,5}==>f(2)=5=2*a+b+c/2 ==> 10=4*a+2*b+c

f’(4)=0=a-c/16 ==> a=c/16

c. En déduire un système d'inconnues a, b et c ; le résoudre et en déduire l'expression f(x).

12=16*a+4*b+c

10=4*a+2*b+c

a=c/16 ==> a=1, b=-5 et c=16 ==> f(x)=x-5+16/x

2. a. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur]0 ; +∞ [par f(x)=x-5 +16/x.

b. Soit D la droite d'équation y= x-5. Etudier le signe de f(x)-(x-5). En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D.

Lorsque x -> + ou - alors 16/x -> 0 et f(x) x-5 -> + ou - . Le graphe de f(x) admet la droite y=x-5 comme asymptote

f(x)-(x-5)=16/x -> 0⁺ lorsque x-> et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures lorsque x->

f(x)-(x-5)=16/x -> 0^- lorsque x-> - et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures lorsque x-> -

Lorsque -> 0⁺ alors f(x) ->

Lorsque -> 0^- alors f(x) -> - et le graphe de f(x) admet la droite d’équation x=0 comme asymptote

f’(x)=1-16/x^2=(x^2-16)/x^2. Le polynôme x^2-16 est du signe de x^2 à l’extérieur de ses racines

........................(-4)....................(0)................(4)....................

f’(x)......(+).......(0)......(-).............||......(-).......(0)......(+).........

f(x)....crois......Max...decrois........||...decrois..Min....crois.........

c. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à C au point d'abscisse 2 et de la tangente T' au point d'abscisse 8.

L’équation de la tangente en a au graphe de f(x) a pour expression y=f’(a)*(x-a)+f(a). L'équation réduite de la tangente T à C au point d'abscisse 2 a pour expression y=f’(2)*(x-2)+f(2)= -3*x+11 et de la tangente T' au point d'abscisse 8 a pour expression y=f’(8)*(x-8)+f(8)=3*x/4-1

d. Trouver le point d'intersection des tangentes T et T'.

le point d'intersection des tangentes T et T' est solution du système d’équation :

y=-3*x+11

y=3*x/4-1 ==> x=16/5 et y=7/5

[Footeuse64]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aidez je suis complétement perdu ! SVP

C'est la 2eme partie de mon DM

Le cout total de production d’un bien est donné par :

C(q)=q³-12q²+72q, pour q appartient à [0 ; 8].

Pour toute quantité q produite, on assimile le cout marginal a la dérivée du cout total Cm(q)=C’(q)

1. Etude du cout marginal.

a. Exprimer le cout marginal en fonction de q et vérifier que C’(q)=3(q-4)²+24.

b. En déduire les variations du cout marginal, puis le signe de C’(q) pour q appartient à [0 ; 8].

c. Montrer que la fonction du cout total est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 8].

2. Etude du cout moyen.

On note CM(q) le cout moyen d’une quantité q produite.

a. Exprimer le cout moyen en fonction de q.

b. Etudier les variations du cout moyen sur [0 ; 8].

3. Lien entre cout marginal et cout moyen.

a. Dresser les tableaux de variations des fonctions C’ et CM sur l’intervalle [0 ; 8]

b. Résoudre 3q²-24q+72=q²-12q+72.

[Barbidoux]

Le cout total de production d’un bien est donné par :

C(q)=q^3-12q^2+72q, pour q appartient à [0 ; 8].

Pour toute quantité q produite, on assimile le cout marginal a la dérivée du cout total Cm(q)=C’(q)

1. Etude du cout marginal.

a. Exprimer le cout marginal en fonction de q et vérifier que C’(q)=3(q-4)^2+24.

Cm(q)=C’(q)=3*q^2-24*q+72=3*(q^2-8*q+24)=3*(q-4)^2+8)=3*(q-4)^2+24

b. En déduire les variations du cout marginal, puis le signe de C’(q) pour q appartient à [0 ; 8].

Cm(q)>0 quelque soit q

c. Montrer que la fonction du cout total est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 8].

Cm(q)=C’(q)>0 quelque soit q ==> C(q) croissante sur [0; 8]

2. Etude du cout moyen.

On note CM(q) le cout moyen d’une quantité q produite.

a. Exprimer le cout moyen en fonction de q.

CM(q)C(q)/q=q^2-12*q+72.

b. Etudier les variations du cout moyen sur [0 ; 8].

Le polynôme q^2-12*q+72 n’admet pas de racines réelles (∆<0) et CM(q)>0 quelque soit q

3. Lien entre cout marginal et cout moyen.

a. Dresser les tableaux de variations des fonctions C’ et CM sur l’intervalle [0 ; 8]

...........0....................................8

C’(q)....72........croiss...............72

CM(q)...72.......croiss................40

b. Résoudre 3q^2-24q+72=q^2-12q+72.

3q^2-24q+72=q^2-12q+72 ==> 2q^2-12q=0 ==> 2*q*(q-6)=0 ==> q=0 et q=6

[Footeuse64]

Bonjour, j'aimerais savoir ce que veut dire ==> et -> et aussi "asymptote". SVP

[Denis CAMUS]

Bonsoir,

===> veut dire au choix :

donc,

en conséquence,

cela entraîne

...

Une asymptote est une droite qu'une courbe tente d'atteindre, sans y arriver.

[Footeuse64]

Merci.

Et par exemple que veut dire : Lorsque x -> + ou - . SVP

[Denis CAMUS]

Lorsque x tend vers + ou - l'infini.