Trouver Les Nombres

[ryz]

Tout d'abord bonjour à tous!

Alors voilà, j'essaie de résoudre un exercice de mathématique qui a pourtant l'air facile, cependant je ne vois pas comment m'y prendre :s

Peut-être quelqu'un pourra-t-il m'éclairer un peu ?

Je vous met l'énoncé :

La somme de deux nombres positifs est 20.

Trouver ces deux nombres, de façon que :

a) la somme de leurs carrés soit minimale ;

b) le produit du carré de l'un par le cube de l'autre soit maximal.

[Barbidoux]

Tout d'abord bonjour à tous!

Alors voilà, j'essaie de résoudre un exercice de mathématique qui a pourtant l'air facile, cependant je ne vois pas comment m'y prendre :s

Peut-être quelqu'un pourra-t-il m'éclairer un peu ?

Je vous met l'énoncé :

La somme de deux nombres positifs est 20.

Les deux nombres sont x et 20-x.

Trouver ces deux nombres, de façon que :

a) la somme de leurs carrés soit minimale ;

f(x)=x^2+(20-x)^2=2*x^2-40*x+400

f'(x)=4x-40 ==> f(x) passe par un minimum pour x=10

b) le produit du carré de l'un par le cube de l'autre soit maximal.

g(x)=x^2*(20-x)^3=-x^5+60*x^4-1200*x^3+8000 x^2

g'(x)=-5*x^4+240*x^3-3600*x^2+16000 x

3 racines x=0, x=8 et x=20 et l'étude du signe de g'(x) montre que g(x) passe par un maximum pour x=8

[ryz]

Tout d'abord bonjour à tous!

Alors voilà, j'essaie de résoudre un exercice de mathématique qui a pourtant l'air facile, cependant je ne vois pas comment m'y prendre :s

Peut-être quelqu'un pourra-t-il m'éclairer un peu ?

Je vous met l'énoncé :

La somme de deux nombres positifs est 20.

Les deux nombres sont x et 20-x.

Trouver ces deux nombres, de façon que :

a) la somme de leurs carrés soit minimale ;

f(x)=x^2+(20-x)^2=2*x^2-40*x+400

f'(x)=4x-40 ==> f(x) passe par un minimum pour x=10

b) le produit du carré de l'un par le cube de l'autre soit maximal.

g(x)=x^2*(20-x)^3=-x^5+60*x^4-1200*x^3+8000 x^2

g'(x)=-5*x^4+240*x^3-3600*x^2+16000 x

3 racines x=0, x=8 et x=20 et l'étude du signe de g'(x) montre que g(x) passe par un maximum pour x=8

[Barbidoux]

Je ne comprends pas comment on peut trouver la solution de l'équation -5*x^4 + 240x^3 - 3600x² + 16000x, si vous pouviez m'expliquer un peu ce point ce serait super

[elp]

Je ne sais pas si tu sais que (uv)'=u'v+uv' ("formule" de la dérivée d'un produit de fonctions)

g(x)=x²(20-x)^3

on pose u=x² donc u'=2x

on pose v=(20-x)^3 donc v'=3*(-1)*(20-x)²=-3(20-x)²

on a ainsi g'(x)=2x(20-x)^3-x²*3*(20-x)²=(20-x)²[2x(20-x)-3x²]=(20-x)²(40x-2x²-3x²)=(20-x)²(40x-5x²)=5x(8-x)(20-x)²

les solutions de g'(x)=0 sont donc: 0; 8; 20

[ryz]

Merci beaucoup à vous deux!

Vous m'avez permis de comprendre cet exercice que je n'aurais pas réussi à résoudre seul.

Encore merci!!