Combien Y’as T’il De Feuille D’absence Différente Possible Avec Une Classe Composé De 20 Élèves ?

[Martin14]

Bonjour à tous,

C'est une interrogation de notre prof, lors d'une mâtiné ou nous étions encore tous endormis, il a cru bon de promettre a celui qui aurez la réponse un 20/20 en DM, ayant aimer le challenge j'ai donc commencer a chercher des infos sur le sujet, mais certains aspect me dépasse (Programme de Terminal S) je cherche donc de l'aide!

Le sujet :

sur une classe de 20 élèves quelle est le nombre de feuille d'absence que l'on pourrait faire (allant de personne n'est absent à tout le monde absent)

J'ai avancé dans le travail, je pense avoir la logique de base, j'ai eut la réponse final grâce a un ami mais il me manque le calcule final qui me permet de soutenir mes dires, si vous pouviez m'aider ce serez sympa et ça fait toujours un 20/20 de gagner...

Où j'en suis :

On défini chaque élève : x1, x2, x3, x4,…, x20

-20 possibilités qu’un seul élèvesoit absent

-1 possibilité que seulement x20soit absent

-Toutes lespossibilités pour que 2 élèves sur 20 soit absents : x1 et x9 ou bien x12 et x3 ou bien x17et x18

etc… de 0 à 20 (190 possibilités que 2 élèves soient absents)

-Toutes les possibilités pour que3 élèves sur 20 soit absents : x6,x2 et x3, ou bien x4, x11 et x12, ou bien x5, x9 et x20 etc... De 0 à20 (X possibilités pour que 3 élèvessoit absents)

-Etc…

A = ensemble des élèves absents

On peut avoir :

A={x1] (juste x1 absent)

A={x2]

Etc…

A={x1; x2} (x1 et x2 absents)

Etc...

A={x1; x2; x3; x4; x5...}

Ou même :

A={x5; x11; x16}

Notre but est detrouver les différentes manières de prendre K élèves parmi 20.

On cherche donc le nombre de sous-ensemble existants dansun ensemble de 20 éléments...

(Si chaque élève était numéroté de 1 à 20, celareviendrais à dire qu’on cherche le nombre de possibilité pour n’ensélectionner qu’une partie : les 10 premières, les 10 derniers, les 10 dumilieu ou bien les 5 premiers, les 5 derniers etc…)

Au final, on tombe sur 1 048 576

Un million quarante huit mille cinq cent soixante seizepossibilités de feuille d’absence…

En espérant que vous pourrez m'aider!

D'avance merci.

[Barbidoux]

Je dirais que ce problème relève de l'analyse combinatoire, il s'agit de calculer le nombre de possibilité de choisir p objets parmi n ce qui s'exprime par C^p_n=n!/(p!*(n-p)!) ou n! est la factorielle de n soit 1*2*3*5*4*....*n

Par exemple :

- le nombre de possibilité de choisir 1 absent parmi 20 élèves c'est C¹₂₀=n!/(p!*(n-p)!)=20!/(1!*19!)=20

- le nombre de possibilité de choisir 2 absents parmi 20 élèves c'est C²₂₀=n!/(p!*(n-p)!)=20!/(2!*18!)=20*19/2=190

- le nombre de possibilité de choisir 3 absents parmi 20 élèves c'est C³₂₀=n!/(p!*(n-p)!)=20!/(3!*17!)=20*19*18/(2*3)=1140

etc.....

Donc le nombre de possibilité de constituer la feuille d'absence dans une classe de 20 élèves est la somme S de p=1 à 20 de C^p₂₀.

Les termes de cette somme étant symétriques par rapport au terme C¹⁰₂₀ il s'en suit que :

S de p=1 à 20 de C^p₂₀= 2*somme p=1 à 9 de C^p₂₀+C¹⁰₂₀

Comme :

20 + 20!/(2!*18!) + 20!/(3!*17!) + 20!/(4!*16!) + 20!/(5!*15!) + 20!/(6!*14!) + 20!/(7!*13!) + 20!/(8!*12!) + 20!/(9!*11!)=431909

et 20!/(10!*10!)=184756 il s'en suit que :

S=2*431909+184756=1048574

et il y a donc 1048574 feuilles d'absences possibles,

si j'ai bien compris le problème posé....

[elp]

quand le prof fait l'appel:

il y a 2 possibilités pour le 1er de la liste : absent ou présent

puis 2 possibilités pour le 2è puis

2 possibilités pour le 3è etc..

le nombre total de possibilités est donc 2^20=1048576

[Barbidoux]

quand le prof fait l'appel:

il y a 2 possibilités pour le 1er de la liste : absent ou présent

puis 2 possibilités pour le 2è puis

2 possibilités pour le 3è etc..

le nombre total de possibilités est donc 2^20=1048576

[elp]

On peut bien entendu arriver au résultat en faisant la somme des C(p,n).

On utilise la formule du binome:(a+b)^n= a^n+C(1,n)*a^(n-1)*b+C(2,n)*a^(n-2)*b^2+C(3,n)*a^(n-3)*b^3+......+b^n

Ds cette formule, on fait a=1 et b=1 et on trouve 2^n=1+C(1,n)+C(2,n)+C(3,n)+.....

Bonne journée

[Martin14]

Un grand merci pour votre aide!!

Me voila éclairé

Je vous souhaite une bonne journée et encore merci pour le temps que vous avez prit a me répondre!