Bond02 Posté(e) le 14 février 2010 Signaler Posté(e) le 14 février 2010 Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac, avec la fonction logarithme. Voici deux exercices, avec lesquels j'aurais besoin d'aide. Exercice 1: Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm) 1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1 et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0. 2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par : g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3) Calculer g(0) et en déduire que sur R+ : ln(1+x) <ou= x - x²/2 + x^3/3 b)Par une étude analogue, montrer que si x>ou= 0 alors : ln(1+x) >ou= x - x²/2 c)Etablir que pour tout x strictement positif on a : -1/2 <ou= (ln(1+x)-x)/x² <ou= -1/2 + x/3 En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2 3) a) Soit h la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par h(x)= (x / 1+x) - ln(1+x) Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +l'infini[ b)Montrer que sur ]0 ; +l'infini[ , f ' (x) = h(x) / x² c)Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +l'infini d)On désigne par C la représentation de f dans le repère (O ; i ; j) Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0. Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C. Exercice 2: Un tonneau contient 228 litres de vin, on prélève chaque jour 1L de ce tonneau, que l'on remplace par de l'eau. A partir de combien de jours, boit-on plus d'eau que de vin? Alors l'exercice 1, je suis en train d'essayer de le faire, j'ai quelques pistes. Mais pour la limite de la question 1). Je dirais que la limite de f(0) est de 1. Puisque f(0)=1, mais faut-il que je la calcule? Je posterais ici bientôt les quelques questions. Par contre, pour l'exercice 2, j'ai beau essayé de le résoudre, je ne vois pas. En effet, dès que l'on rajoute de l'eau, on obtient un mélange vin-eau, mais comment alors déterminer le jour, à l'aide du logarithme. Merci d'avance pour votre aide et vos explications.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 14 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 février 2010 Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac, avec la fonction logarithme. Voici deux exercices, avec lesquels j'aurais besoin d'aide. Exercice 1: Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm) 1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1 et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0. 2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par : g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3) Calculer g(0) et en déduire que sur R+ : ln(1+x) <ou= x - x²/2 + x^3/3 b)Par une étude analogue, montrer que si x>ou= 0 alors : ln(1+x) >ou= x - x²/2 c)Etablir que pour tout x strictement positif on a : -1/2 <ou= (ln(1+x)-x)/x² <ou= -1/2 + x/3 En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2 3) a) Soit h la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par h(x)= (x / 1+x) - ln(1+x) Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +l'infini[ b)Montrer que sur ]0 ; +l'infini[ , f ' (x) = h(x) / x² c)Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +l'infini d)On désigne par C la représentation de f dans le repère (O ; i ; j) Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0. Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C. Exercice 2: Un tonneau contient 228 litres de vin, on prélève chaque jour 1L de ce tonneau, que l'on remplace par de l'eau. A partir de combien de jours, boit-on plus d'eau que de vin? Alors l'exercice 1, je suis en train d'essayer de le faire, j'ai quelques pistes. Mais pour la limite de la question 1). Je dirais que la limite de f(0) est de 1. Puisque f(0)=1, mais faut-il que je la calcule? Je posterais ici bientôt les quelques questions. Par contre, pour l'exercice 2, j'ai beau essayé de le résoudre, je ne vois pas. En effet, dès que l'on rajoute de l'eau, on obtient un mélange vin-eau, mais comment alors déterminer le jour, à l'aide du logarithme. Merci d'avance pour votre aide et vos explications.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 février 2010 Une solution d'un "chimiste" qui n'a jamais commis le sacrilège de mettre de l'eau dans du vin.... Soit C la concentration du vin, le facteur de dilution consécutif à chaque remplacement de vin par l'eau vaut f=289/288 et la concentration du mélange supposé homogène après addition d'eau vaut C/f. Dons si au départ la concentration du vin vaut Co après n prélèvement vaudra Cn=Co*(298/299)^n. On boit plus d'eau que de vin lorsque Cn<Co/2 ==> 1/2<(298/299)^n ==> ln(1/2)/ln(299/298)<n ==> 158,38 <n. Il faudra attendre 159 jours... et une éternité pour se faire pardonner....
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 14 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 février 2010 Une solution d'un "chimiste" qui n'a jamais commis le sacrilège de mettre de l'eau dans du vin.... Soit C la concentration du vin, le facteur de dilution consécutif à chaque remplacement de vin par l'eau vaut f=289/288 et la concentration du mélange supposé homogène après addition d'eau vaut C/f. Dons si au départ la concentration du vin vaut Co après n prélèvement vaudra Cn=Co*(298/299)^n. On boit plus d'eau que de vin lorsque Cn<Co/2 ==> 1/2<(298/299)^n ==> ln(1/2)/ln(299/298)<n ==> 158,38 <n. Il faudra attendre 159 jours... et une éternité pour se faire pardonner....
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 15 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 février 2010 Ca me gène un peu, la concentration en vin... Pourquoi ? la concentration a plusieurs expression, la concentration est un rapport qui peut s'exprimer de différentes manières concentration molaire (molarité et molalité), titre massique, degré alcoolique, degé baumé, ppm ppb etc... alors parler de la concentration d'une solution dans une autre ne me semble pas inconvenant. (En plus, on néglige la contraction de volume du mélange eau/éthanol). Dans le cas du vin qui titre 15° alcoolique que l'on dilue on peut considérer comme additifs les volumes de vin et d'eau, la contraction de volume est parfaitement négligeable dans ce cas. Par contre je me suis planté dans le facteur de dilution qui n'est pas : 229/228 ce qui serait le cas d'un buveur d'eau qui ajoute l'eau avant de prélever le vin et qui boira un mélange d'eau et de vin dans lequel il y a plus d'eau que de vin au bout de 1/2<(228/229)^n ==> ln(1/2)/ln(228/229)<n ==> 158,38 <n soit 159 jours... mais 228/227 ce qui permet au même buveur d'eau de goûter le vin pur le premier jour avant de rajouter de l'eau et qui boira un mélange d'eau et de vin dans lequel il y a plus d'eau que de vin au bout de 1/2<(228/227)^n ==> ln(1/2)/ln(227/228)<n ==> 157,69 <n soit 158 jours pour atteindre une concentration en vin < à 0,5 qu'il boira le 159 jour... Finalement que l'on mette le premier jour de l'eau dans son vin avant de le boire ou que l'on commence par boire du vin pur avant de le baptiser avec de l'eau on arrive à boire la même piquette le même jour.... alors que l'on pourrait, sans en boire plus, boire son vin pur et de l'eau pure ce qui serait quand même plus agréable question goût... Mettre de l'eau dans du vin... c'est bien une idée de matheux ça... On aurait pu rajouter comme question subsidiaire : quel volume journalier de vin pur est prélevée du tonneau ? Ceci-dit ma contribution à cet exercice se voulait plus humoristique que "mathématique" la solution du problème ayant déjà été (et fort brillamment) donnée par toi.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 15 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 février 2010 Ca me gène un peu, la concentration en vin... Pourquoi ? la concentration a plusieurs expression, la concentration est un rapport qui peut s'exprimer de différentes manières concentration molaire (molarité et molalité), titre massique, degré alcoolique, degé baumé, ppm ppb etc... alors parler de la concentration d'une solution dans une autre ne me semble pas inconvenant. (En plus, on néglige la contraction de volume du mélange eau/éthanol). Dans le cas du vin qui titre 15° alcoolique que l'on dilue on peut considérer comme additifs les volumes de vin et d'eau, la contraction de volume est parfaitement négligeable dans ce cas. Par contre je me suis planté dans le facteur de dilution qui n'est pas : 229/228 ce qui serait le cas d'un buveur d'eau qui ajoute l'eau avant de prélever le vin et qui boira un mélange d'eau et de vin dans lequel il y a plus d'eau que de vin au bout de 1/2<(298/299)^n ==> ln(1/2)/ln(299/298)<n ==> 158,38 <n soit 159 jours... mais 288/227 ce qui permet au même buveur d'eau de goûter le vin pur le premier jour avant de rajouter de l'eau et qui boira un mélange d'eau et de vin dans lequel il y a plus d'eau que de vin au bout de 1/2<(298/299)^n ==> ln(1/2)/ln(299/298)<n ==> 157,69 <n soit 158 jours pour atteindre une concentration en vin < à 0,5 qu'il boira le 159 jour... Finalement que l'on mette le premier jour de l'eau dans son vin avant de le boire ou que l'on commence par boire du vin pur avant de le baptiser avec de l'eau on arrive à boire la même piquette le même jour.... alors que l'on pourrait, sans en boire plus, boire son vin pur et de l'eau pure ce qui serait quand même plus agréable question goût... Mettre de l'eau dans du vin... c'est bien une idée de matheux ça... On aurait pu rajouter comme question subsidiaire : quel volume journalier de vin pur est prélevée du tonneau ? Ceci-dit ma contribution à cet exercice se voulait plus humoristique que "mathématique" la solution du problème ayant déjà été (et fort brillamment) donnée par toi.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 15 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 février 2010 Moi, je fais une distinction de définition entre Concentration / Titre / Degré.
Bond02 Posté(e) le 17 février 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 17 février 2010 Bonjour, merci tout d'abord pour toutes ces explications. Cependant, j'ai encore quelques questions. Je ne comprend pas pourquoi Vp,n+1 = 1*%c,n? et pourquoi %c,n = Vr,n/228? On cherche quand on aura plus d'eau que de vin. Donc quand Vp,n+1 0.5 ==> (227/228)^(n) 0.5 ==> n*ln(227/228) ln(0.5) car ln croissante sur R*+ ==> n < ln(0.5)/ln(227/228) = 157.7 , donc alors on a n < 157.7, et puis que vous parlez du décalage alors cela fait que ça sera au 158 ème jour, non?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 17 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 février 2010 Bonjour, merci tout d'abord pour toutes ces explications. Cependant, j'ai encore quelques questions. Je ne comprend pas pourquoi Vp,n+1 = 1*%c,n? et pourquoi %c,n = Vr,n/228? On cherche quand on aura plus d'eau que de vin. Donc quand Vp,n+1 0.5 ==> (227/228)^(n) 0.5 ==> n*ln(227/228) ln(0.5) car ln croissante sur R*+ ==> n < ln(0.5)/ln(227/228) = 157.7 , donc alors on a n < 157.7, et puis que vous parlez du décalage alors cela fait que ça sera au 158 ème jour, non?
Bond02 Posté(e) le 20 février 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 20 février 2010 Mmerci beaucoup pour toutes vos explications, et votre aide. J'aurais juste encore deux questions pour l'exercice 1. Pour la question 2)c) En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2 En effet, je ne vois pas comment faire, pour prouver c'est dérivable. & pour la question 3)d) Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0. Montrer que C admet une asymptote. J'ai (T): y = -1/2x +1. & je voulais savoir si c'est juste. Montrer que C a une asymptote oui car lim f(x) x-->+oo = 0 y=0 asymptote horizontale : axe des abcisses? Merci encore pour tout.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 20 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 février 2010 Mmerci beaucoup pour toutes vos explications, et votre aide. J'aurais juste encore deux questions pour l'exercice 1. Pour la question 2)c) En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2 En effet, je ne vois pas comment faire, pour prouver c'est dérivable. & pour la question 3)d) Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0. Montrer que C admet une asymptote. J'ai (T): y = -1/2x +1. & je voulais savoir si c'est juste. Montrer que C a une asymptote oui car lim f(x) x-->+oo = 0 y=0 asymptote horizontale : axe des abscisses? Merci encore pour tout.
Bond02 Posté(e) le 20 février 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 20 février 2010 On sait que d'après la question 1) lim (pour x->0) f(x)-f(0)/x=lim ln(1+x)/x=1 et donc on sait que c'est dérivable en 0, puisque 1 est bien un réel ? et donc il faut prouver que lim (pour x->0) f(x)-f(0)/x=lim ln(1+x)/x=lim ln(1+x)-x/x², pour prouver que f'(0)=-1/2 et après on peut appliquer le théorème des gendarmes. Mais justement, je ne comprend pas pourquoi lim (pour x->0) f(x)-f(0)/x=lim ln(1+x)/x=lim ln(1+x)-x/x²?
Bond02 Posté(e) le 20 février 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 20 février 2010 En faite, j'ai réussi à trouver ce qu'il fallait. Donc oui, j'ai tout compris jusque là. Par contre, il y a un soucis, en effet, dans la question 1) On trouve que la limite de f en 0 et 1 et là on trouve que c'est -1/2, est-ce normal?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 20 février 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 février 2010 En faite, j'ai réussi à trouver ce qu'il fallait. Donc oui, j'ai tout compris jusque là. Par contre, il y a un soucis, en effet, dans la question 1) On trouve que la limite de f en 0 et 1 et là on trouve que c'est -1/2, est-ce normal?
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