Ts Complexes

[Diju]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire sur les nombres complexes mais je sui bloquée:

Déterminez l'ensemble des points M d'affixe z tels que z+1/z soit : a)réel b)imaginaire

Pour le a) j'ai commencé par la méthode géométrique : z appartient à R ssi z=o ou arg(z)=0 (pi)

z=0 => z+1/z=0 => z+1=0 => z=-1

mais pour arg(z)=0 (pi) je suis bloquée, dois-je écrire arg(z+1/z) ?

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance!

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire sur les nombres complexes mais je sui bloquée:

Déterminez l'ensemble des points M d'affixe z tels que z+1/z soit : a)réel b)imaginaire

Pour le a) j'ai commencé par la méthode géométrique : z appartient à R ssi z=o ou arg(z)=0 (pi)

z=0 => z+1/z=0 => z+1=0 => z=-1

mais pour arg(z)=0 (pi) je suis bloquée, dois-je écrire arg(z+1/z) ?

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance!

[Barbidoux]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire sur les nombres complexes mais je sui bloquée:

Déterminez l'ensemble des points M d'affixe z tels que z+1/z soit : a)réel b)imaginaire

Pour le a) j'ai commencé par la méthode géométrique : z appartient à R ssi z=o ou arg(z)=0 (pi)

z=0 => z+1/z=0 => z+1=0 => z=-1

mais pour arg(z)=0 (pi) je suis bloquée, dois-je écrire arg(z+1/z) ?

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance!

[Diju]

Merci pour votre aide mais je ne comprend pas comment vous passez de

z'=z+1/z=x+i*y+1/(x+i*y) à z'=x+iy+(x-i*y)/(x^2+y^2)

et pareil avec a et b comment passe t'on de 1/z = 1/(a+ib) à a/(a²+b²) - ib/(a²+b²).

J'ai essayé de développer mais je ne comprend vraiment pas, si vous pouviez m'éclairer un peu plus je veux bien!

[Barbidoux]

Merci pour votre aide mais je ne comprend pas comment vous passez de

z'=z+1/z=x+i*y+1/(x+i*y) à z'=x+iy+(x-i*y)/(x^2+y^2)

et pareil avec a et b comment passe t'on de 1/z = 1/(a+ib) à a/(a²+b²) - ib/(a²+b²).

J'ai essayé de développer mais je ne comprend vraiment pas, si vous pouviez m'éclairer un peu plus je veux bien!

[Diju]

D'accord j'ai compris, j'avais oublié que l'on devait utiliser l'expression conjuguée. Mais il y a autre chose qui m'embête, lorsque vous écrivez

i(y-y)/(x²+y²) et x+x/(x²+y²) car z'= x+iy + (x-iy)/(x²-y²) je trouve ça bizarre parce que (x+iy) n'est pas au même dénominateur que (x-iy).

[Barbidoux]

Il ne me semble pas avoir écrit cela : ce que j’ai écrit c’est : (copier coller” de mon précédent message)

Il faut poser z=x+i*y le point M d'affixe z'=z+1/z=x+i*y+1/(x+i*y) ==> z'=x+iy+(x-i*y)/(x^2+y^2)

Pour que z' soit réel il faut que y-y/(x^2+y^2)=0 ==> y=0 et x^2+y2-1=0 (axe des x et cercle de centre O et de rayon unité)

Pour que z' soit imaginaire il fait que x+x/(x^2+y^2)=0 ==> x=0 axe des y

Je complète :

Pour que z' soit réel il faut que y-y/(x^2+y^2)=0 soit y*(1-1/(x^2+y^2))=0 ce qui s’écrit encore y*(x^2+y^2-1)/(x^2+y^2))=0 et pour qu’un produit soit nul il faut et il suffit qu’un de ses facteurs le soit ce qui donne y=0 et x^2+y2-1=0

Pour que z' soit imaginaire il fait que x+x/(x^2+y^2)=0 ce qui s’écrit encore x*(1+1/(x^2+y^2))=0 soit x*(x^2+y^2+1)/ (x^2+y^2)=0 ==> x=0 soit l’axe des y

[Diju]

Justement je ne comprends pas comment vous passez de

z'=x+iy+(x-i*y)/(x^2+y^2) à y-y/(x^2+y^2) et x+x/(x^2+y^2).

Une autre question: est-il possible de trouver arg(-i racine de 3) ? ai-je le droit de /-i racine de 3/ = racine de ( 0² + (racine de 3)² ) = racine de 3 pour le module ?

[Barbidoux]

Justement je ne comprends pas comment vous passez de

z'=x+iy+(x-i*y)/(x^2+y^2) à y-y/(x^2+y^2) et x+x/(x^2+y^2).

ça ce n'est pas bien difficile z'=x+iy+(x-i*y)/(x^2+y^2)=x+x/(x^2+y^2)+iy-i*y/(x^2+y^2)=x+x/(x^2+y^2)+i*(y-y/(x^2+y^2))

Une autre question: est-il possible de trouver arg(-i racine de 3) ? ai-je le droit de /-i racine de 3/ = racine de ( 0² + (racine de 3)² ) = racine de 3 pour le module ?

arg(-i√3) c'est la même chose que √3*arg(-i) et arg(-i)=-Pi/2