piimOusse63 Posté(e) le 13 janvier 2010 Signaler Posté(e) le 13 janvier 2010 Bonjour, J'ai un DM de 1ère S à faire qui porte sur les dérivées et les barycentres mais j'ai beaucoup de mal. Si quelqu'un pouvait m'aider... Ex 1 : Un plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j). On considère la courbe C représentative de la fonction f définie sur ]-1;1[ par f(x) = (1/2)x²-x+1 Et H la courbe représentative dela fonction g définie sur ]-1;1[ par g(x) = 1/(x+1) 1°a) Calculer les fonctions dérivées f'(x) et g'(x). b) En déduire f'(0) et g'(0) 2) Montrer que les deux courbes C et H se coupent en un seul point A dont on précisera les coordonnées. 3°a) Que peut-on alors dire des courbes C et H au point A d'abscisse 0 ? b)Déterminer une équation de la tangente T0 à C au point A d'abscisse 0. c) Déterminer la position relative de C et T0 puis de H et T0. 4°a) Déterminer l'abscisse du point de C où la tangente T est parallèle à la droite d'équation y=-(1/2)x-5. b) Déterminer une équation de cette tangente. 5°) Combien C et H ont-elles de tangentes horizontales ? En quels points ? Déterminer leur équation. Ex 2 : Soit f la fonction définie pour tout x de R par : f(x)=ax²+bx+c où a,b,c sont des réels. Soit C la courbe représentative de f dans un repère. On sait que : Le point A(0;1) appartient à C. La tangente à C au point d'abscisse 2 est parallèle à la droite d'équation y = 18x+2 C admet une tangente horizontale au point d'abscisse -1 1°) Déterminer a,b et c à l'aide de ces informations. 2°) Montrer par le calcul que les coordonnées du sommet de la parabole C sont (-1;-2) Ex 3 : Un plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j). On considère la courbe C représentative de la fonction f définie sur R par : f(x)= (m-1)x²+(3m+2)x+4 1°) Déterminer l'expression de fonction dérivée de f en fonction de m. 2°a) Pour quelles valeurs de m, C a-t-elle une tangente de coefficient directeur 6 au point d'abscisse -1 ? b) Quelle est alors l'expression de f ? c) Montrer que dans ce cas, la courbe C coupe l'axe des abscisses en deux points exactement. Ex 4 : Dire si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier votre réponse. 1) f est une fonction telle que, pour tout réel h non nul : (f(2+h)-f(2))/h=2h²-3h-1 alors f'(2)=-1 2) f est une fonction dérivable en -1, alors le nombre dérivé de f en (-1) est : (f(-1+h)-f(-1))/h 3) f(3)=5 alors le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 3 est 5. 4) La tangente à la courbe Cf au point A(2;-1) passe par le point O(0;0), alors f'(2)=-1/2 5) f'(2)=0, alors la tangente à la courbe Cf au point B d'abscisse 2 a pour équation y=f(2) Ex 5 : Soit ABCD un tétraèdre. Soit G le barycentre de (A,3) (B,1) (C,1) et (D,1). Soit A' le centre de gravité de BCD. Soit D' le point tel que 3*vecteur AD'=vecteur D'B+vecteur D'C. 1) Montrer que les droites (AA') et (DD') se coupent en G. 2) Donner la position de G sur (AA'). Ex 6 : Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4cm. 1°a) Construire le barycentre G des points (A,1) (B,-4) et (C,1). b) Déterminer la nature de l'ensemble E1 des points M du plan tels que : ||vecteur MA-4vecteur MB+vecteur MC||=2. Le tracer. 2) Déterminer la nature de l'ensemble E2 des points M du plan tels que : ||vecteur MA-4vecteur MB+vecteur MC||=||vecteur MA+vecteur MC||. Le tracer. Merci d'avance. Cordialement, piimOusse63
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 13 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 13 janvier 2010 Bonsoir pimousse, Je veux bien t'aider mais j'aimerais que tu y mettes un peu du tien... Les exos 1,2,3 et 4 sont des classiques. Donc, je voudrais que tu essayes le 1er seule, stp ! Merci. BS
piimOusse63 Posté(e) le 13 janvier 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 13 janvier 2010 J'ai réfléchi pendant plus de deux heures rien que pour le premier exercice mais je ne comprends vraiment pas comment je dois m'y prendre. J'aimerais vraiment que quelqu'un m'aide pour que je comprenne tout ça avant le devoir... piimOusse63
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 13 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 13 janvier 2010 J'ai réfléchi pendant plus de deux heures rien que pour le premier exercice mais je ne comprends vraiment pas comment je dois m'y prendre. J'aimerais vraiment que quelqu'un m'aide pour que je comprenne tout ça avant le devoir... piimOusse63 Un plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j). On considère la courbe C représentative de la fonction f définie sur ]-1;1[ par f(x) = (1/2)x²-x+1 Et H la courbe représentative dela fonction g définie sur ]-1;1[ par g(x) = 1/(x+1) 1°a) Calculer les fonctions dérivées f'(x) et g'(x). b) En déduire f'(0) et g'(0) 2) Montrer que les deux courbes C et H se coupent en un seul point A dont on précisera les coordonnées. 3°a) Que peut-on alors dire des courbes C et H au point A d'abscisse 0 ? b)Déterminer une équation de la tangente T0 à C au point A d'abscisse 0. c) Déterminer la position relative de C et T0 puis de H et T0. 4°a) Déterminer l'abscisse du point de C où la tangente T est parallèle à la droite d'équation y=-(1/2)x-5. b) Déterminer une équation de cette tangente. 5°) Combien C et H ont-elles de tangentes horizontales ? En quels points ? Déterminer leur équation.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 janvier 2010 ------------------------- Ex 2 : Soit f la fonction définie pour tout x de R par : f(x)=ax^2+bx+c où a,b,c sont des réels. Soit C la courbe représentative de f dans un repère. On sait que : Le point A(0;1) appartient à C. La tangente à C au point d'abscisse 2 est parallèle à la droite d'équation y = 18x+2 C admet une tangente horizontale au point d'abscisse -1 1°) Déterminer a,b et c à l'aide de ces informations. f(x) est une parabole qui admet une tangente horizontale en son sommét d’abscisse -1 son équation est donc f(x)=k*(x+1)^2+d où k est d sont des constantes à déterminer. Le point A(0;1) appartient au graphe C de f(x) ==> d=-2 . La tangente à C au point d'abscisse 2 est parallèle à la droite d'équation y = 18x+2 ==> f’(2)=18 ==> f’(x)=2*k*(x+1) ==>f(2)=18=6*k ==> k=3 ==> f(x)=3*(x + 1)^2 - 2=3*x^2+6*x+1 2°) Montrer par le calcul que les coordonnées du sommet de la parabole C sont (-1;-2) f(-1)= f(x)=3*(x + 1)^2 - 2 ==> f(-1)=-2 et les coordonnées du sommet de la parabole C sont (-1;-2)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 janvier 2010 Ex 3 : Un plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j). On considère la courbe C représentative de la fonction f définie sur R par : f(x)= (m-1)x^2+(3m+2)x+4 1°) Déterminer l'expression de fonction dérivée de f en fonction de m. f’(x)=2 (m-1) x+3*m+2 2°a) Pour quelles valeurs de m, C a-t-elle une tangente de coefficient directeur 6 au point d'abscisse -1 ? f’(-1)=-2 (m-1) +3*m+2 =6 ==>-2 *m+2+3*m+2 =6 ==> m=2 b) Quelle est alors l'expression de f ? f(x)=x^2+8*x+4 c) Montrer que dans ce cas, la courbe C coupe l'axe des abscisses en deux points exactement. Les abcisses des ponts d’intersection de C avec l’axe des x sont solution de f(x)=0 ==>x^2+8*x+4=0 ==> x= 2*(-2-√3) et x=2*(-2+√3)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 janvier 2010 Ex 4 : Dire si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier votre réponse. 1) f est une fonction telle que, pour tout réel h non nul : (f(2+h)-f(2))/h=2h^2-3h-1 alors f'(2)=-1 Vrai car limite de (f(2+h)-f(2))/h lorsque h->0 = f’(2)=-1 2) f est une fonction dérivable en -1, alors le nombre dérivé de f en (-1) est : (f(-1+h)-f(-1))/h Faux le nombre dérivé de f en (-1) est la limite de (f(-1+h)-f(-1))/h lorsque h->0 3) f(3)=5 alors le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 3 est 5. Faux c’est f’(3) qui est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 3 4) La tangente à la courbe Cf au point A(2;-1) passe par le point O(0;0), alors f'(2)=-1/2 Vrai car le vecteur OA a pour coefficient directeur -1/2 ce qui est le coefficient directeur de la tangente en A{2,-1} ==>f(2)=-1/2 5) f'(2)=0, alors la tangente à la courbe Cf au point B d'abscisse 2 a pour équation y=f(2) Vrai la tangente à la courbe Cf au point B d'abscisse 2 a pour équation y= f’(2)*(x-2)+f(2) et comme f’(2)=0 ==> y=f(2)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 janvier 2010 Ex 5 : Soit ABCD un tétraèdre. Soit G le barycentre de (A,3) (B,1) (C,1) et (D,1). 3*GA+GB+GC+GD=0 Soit A' le centre de gravité de BCD. A’B+A’C+A’D=0 Soit D' le point tel que 3*vecteur AD'=vecteur D'B+vecteur D'C. 3*AD’=D’B+D’C ==>3*D’A+D’B+D’C=0 1) Montrer que les droites (AA') et (DD') se coupent en G. 3*GA+GB+GC+GD=0==>3*(GD+DA)+GD+DB+GD+DC+GD=0 ==>6*GD+3*DA+DB+DC=0 ==>6*GD+3*DD’+3*D’A+DD’+D’B+DD’+D’C=0 ==>6*GD+5*DD’+DD’=0 ==>G, D et D’ sont alignés 3*GA+GB+GC+GD=0 ==>3*GA+GA’+A’B+GA’+A’C+GA’+A’D=0 ==>3*GA+3*GA’=0 ==> GA+GA’=0 et G, A er A’ sont alignés ==> G est le point d’intersection de AA’ et DD’ 2) Donner la position de G sur (AA'). G est le milieu de AA’
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 janvier 2010 Ex 6 : Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4cm. 1°a) Construire le barycentre G des points (A,1) (B,-4) et (C,1). GA-4*GB+GC=0 b) Déterminer la nature de l'ensemble E1 des points M du plan tels que : ||vecteur MA-4vecteur MB+vecteur MC||=2. Le tracer. ||MA-4*MB+MC||=2 ==>||MG+GA-4*(MG+GB)+MG+GC||=2 ==>||-2*MG+GA-4*GB+GC||=2 ==> ||-2*MG||=2 ==> Cercle de centre G et de rayon =2 2) Déterminer la nature de l'ensemble E2 des points M du plan tels que : ||vecteur MA-4vecteur MB+vecteur MC||=||vecteur MA+vecteur MC||. Le tracer. ||MA-4*MB+MC||=||MA+MC|| ==> ||-2*MG||=||MA+MC|| ==> ||-2*MG||=||MG+GA+MG+GC|| ==> ||-2*MG||=||2*MG-4*GB|| la solution est MG=GB et le leiu de M est le cercle de centre G et de rayon GB et GB = 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral soit GB= (2/3)*4*√3/2=4*√3/3
piimOusse63 Posté(e) le 18 janvier 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 18 janvier 2010 Merci beaucoup à tous les deux =)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 janvier 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 janvier 2010 Petite erreur b) Déterminer la nature de l'ensemble E1 des points M du plan tels que : ||vecteur MA-4vecteur MB+vecteur MC||=2. Le tracer. ||MA-4*MB+MC||=2 ==>||MG+GA-4*(MG+GB)+MG+GC||=2 ==>||-2*MG+GA-4*GB+GC||=2 ==> ||-2*MG||=2 ==> Cercle de centre G et de rayon =2 =1
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