Exercice De Mathématique

[Shaden]

Bonjour à tous j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cet exercice s'il vous plait . Si vous pouviez m'expliquer et me mettre sur la piste, j'en serais fort content Merci d'avance.

Petite précision : Résultat de l'exercice 64 : sin h / h

[pzorba75]

Est-ce que tu peux écrire complètement le résultat de l'exercice 6? Sans ce point, comment veux-tu recevoir de l'aide.

[Boltzmann_Solver]

Est-ce que tu peux écrire complètement le résultat de l'exercice 6? Sans ce point, comment veux-tu recevoir de l'aide.

[Boltzmann_Solver]

Aller, je suis atteint par la grâce de Noêl. Correction bonux!

1) D'après 64,

lim_{x-->0} sin(x)/x = 1

lim_{x-->0} (sin(x)-sin(0))/(x-0) = 1. Par définition du nombre dérivée.

sin'(0) = 1

2) Pour tout h de [-pi/2,pi/2]\{0},

(1-cos(h))(1+cos(h))/h² = (1²-cos²(h))/h² = sin²(h)/h² = (sin(h)/h)²CQFD.

D'après la définition du nombre dérivée,

cos'(0) = lim_{x-->0} (cos(x)-cos(0))/(x-0) = lim_{x-->0} (cos(x)-1)/x = lim_{x-->0} (sin(x)/x)²*x/(1+cos(x)) = 0 (car sin(x)/(x*(1+cos(x)) tend vers 1/2 et x vers 0).

3) Donc,

sin(a+h) = sin(a)cos(h) + sin(h)cos(a)

sin(a+h) - sin(a) = sin(a)cos(h) + sin(h)cos(a) - sin(a)

sin(a+h) - sin(a) = sin(a)(cos(h)-1) + sin(h)cos(a)

(sin(a+h) - sin(a))/h = sin(a)(cos(h)-1)/h + sin(h)cos(a)/h

En passant à la limite :

lim_{h-->0} (sin(a+h) - sin(a))/h = lim_{h-->0} sin(a)(cos(h)-1)/h + sin(h)cos(a)/h

sin'(x) = lim_{h-->0} sin(a)(cos(h)-1)/h + lim_{h-->0} sin(h)cos(a)/h

sin'(x) = sin(a)*lim_{h-->0} (cos(h)-1)/h + cos(a)*lim_{h-->0} sin(h)/h

Or, d'après 64 lim en 0 de sin(x)/x = 1 et d'après 2), lim en 0 (cos(x)-1)/x = 0

Donc, sin'(x) = 1*cos(x) + 0*sin(x) = cos(x).

Donc, la dérivée existe pour tout x de R et vaut cos(x) (à connaitre par coeur).

D'après cette formule, par composé de fonction définies continues et dérivable sur R, cos(x) est dérivable sur R, lui aussi.

Donc, cos'(x) = (sin(x+pi/2))' = (x+pi/2)'*sin'(x+pi/2) = 1*cos(x+pi/2). En utilisant la formule du début.

cos(x) = sin(x+pi/2) en posant x = y+pi/2, cos(y+pi/2) = sin(y + pi) = -sin(y).

Donc cos'(x) = cos(x+pi/2) = -sin(x). CQFD.

Voila et Joyeux Noël!

BS