Momow Posté(e) le 24 décembre 2009 Signaler Posté(e) le 24 décembre 2009 Bonjour tout le monde, alors voilà, je bloque beaucoup sur mon Dm >.< C'est du niveau Term S ! Avec trois exercices, voici le premier : Partie A : Soit g la fonction défine sur R pa : g(x) = 2+((x/2)-1)*exp(-x/2) I. a. Déteminer les limites en -infini et +infini. (j'ai trouvé en -infini) b. Démonter que g est dérivable sur R et trouver g' (j'ai g' = (exp(-x/2)/2)*(2-(x/2)) mais je suis pas sûre). c. Etudier les variations. d.Dresser le tableaux de variations sur R. II.a.justifier que g(x)=0 a une seule sol. dans R comprise dan [-1;0] b. Determiner un encadrement d'amplitude 0.1 III.Déduire de ce qui précède le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (si vous pouviez surtout m'aider pour la dérivée car après je sais faire normalement sauf peut-être le III !) Partie B : Soit f sur R : f(x) = 2x-5-x*exp(-x/2), C sa courbe dans un repère orthonormé etc... I. a. Limites en -infini et +infini b. Démonter que la droite D, y=2x-5 est asymptote oblique. (en gros, dire que la limite de x*exp(-x/2) en -infini et +infini vaut 0, je pense qu'il faut utiliser les croissances comparées.) c.Position de D par rapport à C II.Démonter f dérivable sur R et trouver f' III.Tableau de variation IV. Courbe (ça je le ferai x) Merci beaucoup pour votre aide =D
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 24 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 décembre 2009 ------------------------ Partie A : Soit g la fonction défine sur R pa : g(x) = 2+((x/2)-1)*exp(-x/2) I. a. Déterminer les limites en -infini et +infini. Lorsque x-> - alors x/2>>1 et g(x) ≈ (x/2)*exp(-x)=(- /3)* :ifini: = - Lorsque x-> alors x/2>>1 et g(x) ≈ 2+(x/2)*exp(-x)=2+(x/2)/exp(x) et comme (x/2)/exp(x)->0 lorsque x-> alors f(x) -> 2 b. Démonter que g est dérivable sur R et trouver g' . g étnt composé de fonctions dérivables sur R est dérivable sur R g’(x)=exp(-x/2)/2 - (1/2) exp(-x/2) (-1 + x/2)=-(1/4)exp(-x/2) (x-4) c. Etudier les variations. d.Dresser le tableaux de variations sur R. x.....................4.................. g’(x).....(+).....(0).......(-)...... g(x)....crois....Max...decrois II.a.justifier que g(x)=0 a une seule sol. dans R comprise dans [-1;0] g(-1)=2-3*√e/2-0,473 et g(0)=1 la fonction étant croissante dans l’intervalle [-1; 0] le graphe de g(x) intercepte l’axe des x entre -1 et 0 ce qui signifie que g(x) une seule solution réelle x0 dans l’intervalle [-1;0] b. Determiner un encadrement d'amplitude 0.1 x............g(x)-..........signe -1........-0,473........... – 0...........1................. + -0,5.....0,395........... + -0,8....-0,0886......... – -0,7.....0,08423....... + -0,75..-0,00061.........– donc 0-0,75<x0<-0,70 III.Déduire de ce qui précède le signe de g(x) suivant les valeurs de x. x.......................≈ -0,725............... g(x).......(-)..........(0)...............(+) Partie B : Soit f sur R : f(x) = 2x-5-x*exp(-x/2), C sa courbe dans un repère orthonormé etc... I. a. Limites en -infini et +infini b. Démonter que la droite D, y=2x-5 est asymptote oblique. c.Position de D par rapport à C f(x) = 2x-5-x*exp(-x/2)=x*(2-exp(-x/2))-5 Lorsque x-> - ==> 2 << exp(-x/2) et f(x)≈ - x*exp(-x/2)= - * =- Lorsque x-> ==> x*exp(-x/2)=x/exp(x/2) -> 0+ et f(x) ≈2x-5 -> ce qui montre que la droite y=2*x-5 est assymtote au graphe de f(x). f(x)-y= x/exp(x/2) -> 0+ lorsque x-> ce qui montre que le graphe de f(x) tend vers son asymtopte par valeurs supérieures lorsque x-> (le graphe de f(x) est au dessus de celui de y) II.Démonter f dérivable sur R et trouver f' g étnt composé de fonctions dérivables sur R est dérivable sur R f’(x)=2 -exp(-x/2) + (1/2)exp(-x/2) x=2+exp(-x/2)*(x/2-1)=g(x) on retrouve la fonction de l’exo 1 III.Tableau de variation x.......................≈ -0,725............... g(x).......(-)..........(0)...............(+) f(x)....decrois......Min.....crois...
Momow Posté(e) le 24 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 24 décembre 2009 Merci beaucoup ! J'ai jeté un oeil rapide, il y a deux trois trucs que je n'ai pas compris mais je travaillerais plus dessus demain ou après-demain ! Merci encore !!! est-ce que je pourrai vosu demander encore un peu d'aide pour d'autres exos si je bloque encore ? Merci et joyeux noël ^^ =D
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 24 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 décembre 2009 Merci beaucoup ! J'ai jeté un oeil rapide, il y a deux trois trucs que je n'ai pas compris mais je travaillerais plus dessus demain ou après-demain ! Merci encore !!! est-ce que je pourrai vosu demander encore un peu d'aide pour d'autres exos si je bloque encore ? Merci et joyeux noël ^^ =D
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 25 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 25 décembre 2009 Petite erreur..... due à un oubli de signe Partie B : Soit f sur R : f(x) = 2x-5-x*exp(-x/2), C sa courbe dans un repère orthonormé etc... I. a. Limites en -infini et +infini b. Démonter que la droite D, y=2x-5 est asymptote oblique. c.Position de D par rapport à C f(x) = 2x-5-x*exp(-x/2)=x*(2-exp(-x/2))-5 Lorsque x-> - ==> 2 << exp(-x/2) et f(x)≈ - x*exp(-x/2)= - * =- Lorsque x-> ==> x*exp(-x/2)=x/exp(x/2) -> 0+ et f(x) ≈2x-5 -> ce qui montre que la droite y=2*x-5 est assymtote au graphe de f(x). f(x)-y=- x/exp(x/2) -> 0+ lorsque x-> ce qui montre que le graphe de f(x) tend vers son asymtopte par valeurs supérieuresinférieures lorsque x-> (le graphe de f(x) est au dessus en dessous de celui de y)
Momow Posté(e) le 26 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 Ah oui merci =D J'ai bien compris dans l'ensemble, sauf les limites =S. Parce que je ne fonctionne pas comme ça d'habitude, mais je creuserais mieux ! Sinon j'ai un autre exo, ou la dernière question m'embête : On définit f(x)=(1+x)^(1/x) sur ]-1;+infini[\0 1. Limites aux bornes de l'ensemble de définition. En -1+, je trouve +infini. En +infini, 1 En 0- , exp et en 0+, exp 2. Quelles valeurs doit-on attribuer à f(0) afin de pouvoir prolonger f par continuité à ]-1;+infini[ ? Il faut que f(0)=exp. Ainsi f(x) = (1+x)^(1/x) quand x appartient à ]-1;+infini[ ou f(x)=exp si x=0 3.Etudier g(x) = x-(x+1)*ln(x+1) sur -1;+infini j'ai g'(x)=-ln(x+1) donc le tableau de signe avec g(x) croissant sur -1;0 puis décroissant sur 0;+infini avec comme maximum 0. Je n'ai pas calculer les limites, il le faut ? 4. En déduire les variations de f. Voilà, c'est cette question que je n'arrive pas. Je ne vois pas vraiment le rapprot entre g et f. Merci d'avance.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 26 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 Ah oui merci =D J'ai bien compris dans l'ensemble, sauf les limites =S. Parce que je ne fonctionne pas comme ça d'habitude, mais je creuserais mieux ! Sinon j'ai un autre exo, ou la dernière question m'embête : On définit f(x)=(1+x)^(1/x) sur ]-1;+infini[\0 1. Limites aux bornes de l'ensemble de définition. En -1+, je trouve +infini. En +infini, 1 En 0- , exp et en 0+, exp 2. Quelles valeurs doit-on attribuer à f(0) afin de pouvoir prolonger f par continuité à ]-1;+infini[ ? Il faut que f(0)=exp. Ainsi f(x) = (1+x)^(1/x) quand x appartient à ]-1;+infini[ ou f(x)=exp si x=0 3.Etudier g(x) = x-(x+1)*ln(x+1) sur -1;+infini j'ai g'(x)=-ln(x+1) donc le tableau de signe avec g(x) croissant sur -1;0 puis décroissant sur 0;+infini avec comme maximum 0. Je n'ai pas calculer les limites, il le faut ? 4. En déduire les variations de f. Voilà, c'est cette question que je n'arrive pas. Je ne vois pas vraiment le rapprot entre g et f. Merci d'avance.
Momow Posté(e) le 26 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 Merci de me répondre, c'est sympa =) . Alors pour mes limites fausses, les voici détaillées : lim (1+x)^(1/x) x>0- = lim exp((ln(1+x)/x) x>0- =lim expY = e Y>1 avec Y=(ln(1+x)/x) et limY =1 quand x>0- Et j'ai fais la même chose pour 0+. En ce qui concerne la dérivation de f, j'ai un souci parce que je sais dériver une fonction de la forme a^(u(x)) avec u(x) une autre fonction et a un entier. Mais je ne sais pas dériver une fonction de la forme v(x)^(u(x)) .
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 26 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 Merci de me répondre, c'est sympa =) . Alors pour mes limites fausses, les voici détaillées : lim (1+x)^(1/x) x>0- = lim exp((ln(1+x)/x) x>0- =lim expY = e Y>1 avec Y=(ln(1+x)/x) et limY =1 quand x>0- Et j'ai fais la même chose pour 0+. En ce qui concerne la dérivation de f, j'ai un souci parce que je sais dériver une fonction de la forme a^(u(x)) avec u(x) une autre fonction et a un entier. Mais je ne sais pas dériver une fonction de la forme v(x)^(u(x)) .
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 26 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 En complément de BS On définit f(x)=(1+x)^(1/x) sur ]-1;+infini[\0 1. Limites aux bornes de l'ensemble de définition. Pour étudire cette fonction il est préférable de la mettre sous la forme de f(x)=exp(ln(1+x)/x) Lorsque x-> -1 ==> f(x)=exp(ln(0)/(-1))=exp( ) -> Lorsque x-> infini ==> f(x)=exp(ln()/( ))=exp(0 ) -> 1 (croissances comparées de x et ln(x) 2. Quelles valeurs doit-on attribuer à f(0) afin de pouvoir prolonger f par continuité à ]-1;+infini[ ? x->0+ ou x->0- ==> f(x)=exp(ln(1+x)/x)->exp(1) (car ln(1+x)/x ->1 lorsque x->0) et l’on doit attribuer à f(0) la valeur exp(1) afin de pouvoir prolonger f(x) par continuité en 0 sur l’intervalle ]-1; [ 3.Etudier g(x) = x-(x+1)*ln(x+1) sur -1;+infini g’(x)=-ln(x+1) donc g(x) qui est croissante sur ]-1;0] décroissante sur [0; [ et passe par un maximum égal à 0 pour x=0 est donc <0 qq soit x 4. En déduire les variations de f. f’(x)=(1+x)^(1/x) (1/(x (1 + x)) - ln(1 + x)/x^2) ce qui s’écrit encore f’(x)=((1+x)^(1/x)/(x^2*(1+x))* (x- (x+1)*ln(1 + x)) soit f’(x)=((1+x)^(1/x)/(x^2*(1+x))*g(x) ce qui permet d’en déduire le signe de f’(x) et le sens de variation de f(x). En effet ((1+x)^(1/x)/(x^2*(1+x)) >0 qq soit x sur ]-1 ; [ et comme g(x)<0 sur cet intervalle on en déduit que f’(x)<0 sur ]-1 ; [ donc fonction décroissante sur ]-1 ; [
Momow Posté(e) le 26 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 Merci à vous deux ^^ Vous m'aidez bien ! J'ai un tout dernier exercice que je trouve un peu plus compliqué mais bon. Je me permets de vous le faire passer aussi =) F définit par f(x)=x+ln((2x)/(x-2)) 1. Ensemble de définition. J'ai trouvé ]-infini;02;+infini[ 2.Montrer que le point M(1 ; 1+ln2) est centre de symétrie de la courbe. Je sais qu'il faut utiliser la formule f(a+h)+f(a-h)=2b avec le point M(a;b) mais je n'arrive pas à me sortir de mon calcul ! Je finis à : 2+ln2+ln2+ln(1-h)-ln(-1-h) 3.Sens de varations de f, limites en 2 et en +infini. Montrer que y=x+ln2 est asymptote en +infini J'ai f'(x) = 1- (4/2x). Je ne suis pas sure. Avec comme variations croissante sur -infini;0 et décroissante sur 2;+infini. Je n'ai pas fais l'asymptote pour le moment. Ensuite, je n'ai pas encore cherchée, je vous le donne quand même ^^ . 4. g définie par g(x)=x+ ln l (2x/(x-2) l a. Expliquer pourquoi l'expression de la dérivée de g sur 0;2 ouvert est la même que celle de f. b. Donner le tableau de variations de g. Merci encore, bonne soirée.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 26 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 26 décembre 2009 Merci à vous deux ^^ Vous m'aidez bien ! J'ai un tout dernier exercice que je trouve un peu plus compliqué mais bon. Je me permets de vous le faire passer aussi =) F définit par f(x)=x+ln((2x)/(x-2)) 1. Ensemble de définition. J'ai trouvé ]-infini;02;+infini[ 2.Montrer que le point M(1 ; 1+ln2) est centre de symétrie de la courbe. Je sais qu'il faut utiliser la formule f(a+h)+f(a-h)=2b avec le point M(a;b) mais je n'arrive pas à me sortir de mon calcul ! Je finis à : 2+ln2+ln2+ln(1-h)-ln(-1-h) 3.Sens de varations de f, limites en 2 et en +infini. Montrer que y=x+ln2 est asymptote en +infini J'ai f'(x) = 1- (4/2x). Je ne suis pas sure. Avec comme variations croissante sur -infini;0 et décroissante sur 2;+infini. Je n'ai pas fais l'asymptote pour le moment. Ensuite, je n'ai pas encore cherchée, je vous le donne quand même ^^ . 4. g définie par g(x)=x+ ln l (2x/(x-2) l a. Expliquer pourquoi l'expression de la dérivée de g sur 0;2 ouvert est la même que celle de f. b. Donner le tableau de variations de g. Merci encore, bonne soirée.
Momow Posté(e) le 27 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Ah merci. Par contre, je ne connais pas la notation "abs" ? Qu'est-ce que c'est s'il-vous-plaît ? En ce qui concerne ma dérivée, j'ai bien utilisé la formule de fonction composée : lnu(x)' = u'(x)/u(x) Cela me donne : [x+ln(2x/(x-2)]'=1+[(2x/(x-2))'/(2x/(x-2))] = 1+(2x/(x-2)) * ((x-2)/2x) (multiplication par l'inverse.) = 1+ (-4/(x-2)aucarré ) * ((x-2)/2x) = 1- [4/(x-2)*2x)] Je viens de voir ma faute en recopiant...Je me suis trompée en simplifiant par (x-2) en oubliant le carré >.< ... C'est mieux comme ça ? Ou pas du tout ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Ah merci. Par contre, je ne connais pas la notation "abs" ? Qu'est-ce que c'est s'il-vous-plaît ? En ce qui concerne ma dérivée, j'ai bien utilisé la formule de fonction composée : lnu(x)' = u'(x)/u(x) Cela me donne : [x+ln(2x/(x-2)]'=1+[(2x/(x-2))'/(2x/(x-2))] = 1+(2x/(x-2)) * ((x-2)/2x) (multiplication par l'inverse.) = 1+ (-4/(x-2)aucarré ) * ((x-2)/2x) = 1- [4/(x-2)*2x)] Je viens de voir ma faute en recopiant...Je me suis trompée en simplifiant par (x-2) en oubliant le carré >.< ... C'est mieux comme ça ? Ou pas du tout ?
Momow Posté(e) le 27 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Pour les variations, j'avais pensé que faire deux tableaux serait peut-être mieux ? Un de -infini à 0 et l'autre de 2 à +infini ? Donc pour le premier j'aurais : x.....-infini............0 1..........+............... -4.........-............... (x-2)....-............... 2x........-............... f'(x)......-............... f(x) décroissante Le problème c'est que ça ne colle pas du tout avec ce que me donne le graphique de ma calculatrice >.< et le second donnerait : x.....2...........+infini 1....+............. -4......-.............. 2x.....+............ (x-2)....+......... f'(x)......-..... f(x) croissante Là non plus ça ne colle pas, une erreur ? Je regarde une nouvelle fois. (ah oui, j'aime bien tout détailler, c'est pour ça que j'ai pris la peine de noter une ligne pour 1 et -4 xD)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Pour les variations, j'avais pensé que faire deux tableaux serait peut-être mieux ? Un de -infini à 0 et l'autre de 2 à +infini ? Donc pour le premier j'aurais : x.....-infini............0 1..........+............... -4.........-............... (x-2)....-............... 2x........-............... f'(x)......-............... f(x) décroissante Le problème c'est que ça ne colle pas du tout avec ce que me donne le graphique de ma calculatrice >.< et le second donnerait : x.....2...........+infini 1....+............. -4......-.............. 2x.....+............ (x-2)....+......... f'(x)......-..... f(x) croissante Là non plus ça ne colle pas, une erreur ? Je regarde une nouvelle fois. (ah oui, j'aime bien tout détailler, c'est pour ça que j'ai pris la peine de noter une ligne pour 1 et -4 xD)
Momow Posté(e) le 27 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Je n'ai pas tout compris oO. On calcule f'(x)>0 Ok, ça c'est bon donc la solution c'est : ]-inf,x2]U[x1,+inf[ OK, donc f(x) est croissant sur cet intervalle. Mais je n'ai pas compris comment vous trouver la partie décroissante, vous pouvez me réexpliquer si je ne suis pas trop exigeante ? =S A propos des limites je suis vraiment très très nulle, je n'ai pas encore regardé. Et pour l'asymptote, c'est encore une limite de x+lnF - x-ln2 en +inf et -inf, et il faut trouver 0. (F = 2x/x-2 ---> long à écrire xD). Mais je ne pense pas pouvoir avancer plus ce soir, je regarderai ça plus en détail demain matin ou dans la journée ! Bonne soirée, et encore merci pour tout et d'être aussi patient !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Je n'ai pas tout compris oO. On calcule f'(x)>0 Ok, ça c'est bon donc la solution c'est : ]-inf,x2]U[x1,+inf[ OK, donc f(x) est croissant sur cet intervalle. Mais je n'ai pas compris comment vous trouver la partie décroissante, vous pouvez me réexpliquer si je ne suis pas trop exigeante ? =S A propos des limites je suis vraiment très très nulle, je n'ai pas encore regardé. Et pour l'asymptote, c'est encore une limite de x+lnF - x-ln2 en +inf et -inf, et il faut trouver 0. (F = 2x/x-2 ---> long à écrire xD). Mais je ne pense pas pouvoir avancer plus ce soir, je regarderai ça plus en détail demain matin ou dans la journée ! Bonne soirée, et encore merci pour tout et d'être aussi patient !
Momow Posté(e) le 27 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Ah oui, c'est bon maintenant, j'ai compriiiiis x) !! Merci !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 décembre 2009 Pour les limites, elles ne sont pas compliqué. j'aimerais que tu essayes, stp. Pour l'assymptôte, il y a une astuce assez simple. f(x) = x + ln(2x/(x-2)) = x + ln(2) + ln(x/(x-2)) = x + ln(2) + ln((x-2+2)/(x-2)) = x + ln(2) + ln(1 + 2/(x-2)) En plus inf, on a un équivalent du ln par f(x) eqv(+inf) à x + ln(2) + 2/(x-2). Donc, on a bien une assymptôte d'équation y = x + ln(2). CQFD.
Momow Posté(e) le 28 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 Pour la limite en +infini, j'ai multiplié en haut et en bas par le conjugué du bas, cad par (x+2), ensuite j'ai distribué et factorisé par xcarré. lim x+ ln[((2+4/x))/(1-(4/xaucarré)] = +infini car la partie ln vaut ln2. Pour la limite en 2, ce doit être en 2+ déjà par rapport à Df. Mais euh, là je vois pas. En factorisant par 2 ou par x ça donne rien parce que je tombe sur ln0 et c'est impossible.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 28 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 Pour la limite en +infini, j'ai multiplié en haut et en bas par le conjugué du bas, cad par (x+2), ensuite j' lim x+ ln[((2+4/x))/(1-(4/xaucarré)] = +infini car la partie ln vaut 2. Pour la limite en 2, ce doit être en 2+ déjà par rapport à Df. Mais euh, là je vois pas.
Momow Posté(e) le 28 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 D'accord, merci ^^ Ben il manque juste la question 4 =S (que je suis en train d'essayer de faire), je la renote : 4. g définit par g(x)= x + ln l2x/(x-2)l (valeur absolue -> l l) a. Expliquer pourquoi l'expression de la dérivée de g sur 0;2 ouvert est la même que celle de f. Je dirai bien que c'est parce que de toute façon un ln est toujours différent de 0, mais je suis pas sûre. b. Donner le tableau de variations de g Ce serait le même que f ???!!!
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 28 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 D'accord, merci ^^ Ben il manque juste la question 4 =S (que je suis en train d'essayer de faire), je la renote : 4. g définit par g(x)= x + ln l2x/(x-2)l (valeur absolue -> l l) a. Expliquer pourquoi l'expression de la dérivée de g sur 0;2 ouvert est la même que celle de f. Je dirai bien que c'est parce que de toute façon un ln est toujours différent de 0, mais je suis pas sûre. b. Donner le tableau de variations de g Ce serait le même que f ???!!!
Momow Posté(e) le 28 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 Je trouve grâce à la dérivée de g(x) cad aussi f'(x) que g est croissante sur 0;2. Bonne soirée.
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