lily-21 Posté(e) le 11 décembre 2009 Signaler Posté(e) le 11 décembre 2009 Bonsoir à tous ! Pouvez(vous m'aider pour ce devoir maison s'il vous plaît ? Je n'ai pas compris la partie I. Pouvez-vous m'aider svp ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 11 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 11 décembre 2009 Bonsoir lily, Pour la partie A) Question n°1 : e^x => x+1 Je te propose une rapide étude de fonction. Soit f(x) = e^x-x-1. f'(x) = e^x-1. f'(x) => 0 si x => 0 et f'(x) <0 si x<0. Donc f est minimal pour x=0. Or f(0) = 0. Donc f(x) => 0 pour tout x de R. => e^x => x+1 pour tout x de R. CQFD. Question n°2 : En posant x = 1/n ==> e^(1/n) => 1+1/n. En posant x = -1/(n+1) e^(-1/(n+1)) => 1-1/(n+1). Quand à l'utilité des ces inégalités, je ne connais pas la nature du travail que tu as fait en classe. Donc, si tu as d'autres questions, n'hésite pas à les poser. Cordialement. BS
lily-21 Posté(e) le 12 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 12 décembre 2009 Je vous remercie pour votre aide ! 1). Mais je n'ai pas trop compris. Est-ce-que x+1 est un minimum? Il faut justifier l'égalité entre e^x et x+1 (je crois) 2). Pour en déduire, est-ce-qu'il faut simplement dire que x=(1/n) et x=-(1/n+1) ou démontrer les deux inégalités. Est-ce-que vous pouvez m'aider pour la partie II svp ? Merci beaucoup pour votre aide !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 12 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 12 décembre 2009 Bonsoir lily, On recommence la 1ère question : e^x => 1+x = e^x - 1 - x => 0 Pour ça, tu es d'accord? Posons g(x) = e^x - 1 - x. Et étudions les variations de g. g'(x) = e^x - 1. g'(x) => 0 < == > e^x - 1 => 0 < == > e^x => 1 < == > x => ln(1) = 0. g'(x) < 0 < == > e^x - 1 < 0 < == > e^x < 1 < == > x < ln(1) = 0 Ainsi, on obtient le tableau de variation : --------------------------------------------------------------- | x |-inf 0 +inf --------------------------------------------------------------- | g'(x) | - 0 + --------------------------------------------------------------- | |+inf--\ /----> +inf | g(x) | \-------\ /-------/ | | \-->0----/ --------------------------------------------------------------- Comme on peut le voir g(x) => 0 pour tout x de R. g(x) => 0 e^x-x-1 => 0 e^x => x+1 Inégalité démontrée. As tu compris cette première partie? BS
lily-21 Posté(e) le 12 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 12 décembre 2009 oui merci j'ai compris enfin cette première partie, mais pas trop pour la 2).
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 12 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 12 décembre 2009 Pour le 2) Tu sais que e^x => 1 + x. En posant x = 1/n : e^(1/n) => 1+1/n. En posant x = -1/(n+1) : e^(-1/(n+1)) => 1-1/(n+1). Tout simplement. Je ne vois pas comment faire plus simple. Si tu ne comprends toujours pas. Essaye de préciser ou tu bloques, stp. BS
lily-21 Posté(e) le 13 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 13 décembre 2009 Oui merci beaucoup, j'ai compris; Pour la partie II: voilà mes réponses. 2). l'ensemble de définition est ]-00;-1] et ]-1;+00[ lim de f(x) est +00 quand x tend vers -00 lim de f(x) est 0 quand x tend vers +00. Df=Df'=R donc f'(x)= u'v+uv'=2(x+1)^1*e^(-x)+ (x+1)²*(-e^(-x)) donc croissante en -00 et décroissante en +00 2).a. y= f'(a)(x-a)+f(a)= f'(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+1= x+1 b. soit g(x)= (x+1)²e^(-x) - (x+1) . On dérive et on étudie la variation.... 3). pour cette question, il y a écrit "placer les tangentes horizontales". Est-ce-que je dois calculer l'équation ? Il y a combien de tangente horizontales ? Voilà, merci beaucoup de m'avoir aidé ! Bonne soirée !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 13 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 13 décembre 2009 Oui merci beaucoup, j'ai compris; Pour la partie II: voilà mes réponses. 2). l'ensemble de définition est ]-00;-1] et ]-1;+00[ lim de f(x) est +00 quand x tend vers -00 lim de f(x) est 0 quand x tend vers +00. Df=Df'=R donc f'(x)= u'v+uv'=2(x+1)^1*e^(-x)+ (x+1)²*(-e^(-x)) donc croissante en -00 et décroissante en +00 2).a. y= f'(a)(x-a)+f(a)= f'(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+1= x+1 b. soit g(x)= (x+1)²e^(-x) - (x+1) . On dérive et on étudie la variation.... 3). pour cette question, il y a écrit "placer les tangentes horizontales". Est-ce-que je dois calculer l'équation ? Il y a combien de tangente horizontales ? Voilà, merci beaucoup de m'avoir aidé ! Bonne soirée !
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 13 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 13 décembre 2009 Partie II ---------------------- f(x)=(1+x)^2*exp(-x) Domaine de définition R car f(x) est le produit de deux fonctions définies sur R Limites Lorsque x-> alors f(x)=(1+x)^2*exp(-x)= (1+x)^2/exp(x) ≈ x^2/exp(x) ->0 Lorsque x-> - alors f(x)=(1+x)^2*exp(-x) ≈x^2*exp(-x) = * -> f’(x)=2*exp(-x) (1 + x) - exp(-x)(1 + x)^2=-exp(-x)*(x^2-1) admet deux racines x=+1 et x=-1 x...........................(-1)....................(+1).................. f’(x).....(-)..............(0)......(+)...........(0).......(-)......... f(x)....decrois........Min....crois.........max......decrois... L’équation d’une tangente au point d’abscisse a à un graphe f(x) a pour expression : y=f’(a)*(x-a)+f(a) L’équation de la tangente au poin a=0 à f(x) a pour expression : y=(1)*(x-0)+1=x+1 Position de la tangente par rapport à f(x) g(x)=f(x)-(x+1)= (1+x)^2*exp(-x)-(x+1)=(x+1)*((1+x)*exp(-x)-1)=(x+1)*((1+x)-exp(x))/exp(x) pour x=-1==> g(x)=0 x=0 ==> g(x)=0 x<0 ==> ((1+x)-exp(x))/exp(x) <0 car 1+x exp(x) x.................................................(-1)....................(0)........................ (x+1).................................(-)......(0).......(+).........................(+) ((1+x)-exp(x))/exp(x)........(-)..................(-)..........(0)...........(-)...... g(x)................................(+).....(0).......(-)..........(0)...........(-) Le graphe de f(x) est au dessus de sa tangente pour x<-1 Tangente horizontales y=0 et y=f(1)=4/exp(1) J'étais en train de répondre et lorsque j'ai envoyé je n'ai pas vu que BS t'avais répondu... tu auras donc une réponse en double....
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 13 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 13 décembre 2009 Partie II ---------------------- f(x)=(1+x)^2*exp(-x) Domaine de définition R car f(x) est le produit de deux fonctions définies sur R Limites Lorsque x-> alors f(x)=(1+x)^2*exp(-x)= (1+x)^2/exp(x) ≈ x^2/exp(x) ->0 Lorsque x-> - alors f(x)=(1+x)^2*exp(-x) ≈x^2*exp(-x) = * -> f’(x)=2*exp(-x) (1 + x) - exp(-x)(1 + x)^2=-exp(-x)*(x^2-1) admet deux racines x=+1 et x=-1 x...........................(-1)....................(+1).................. f’(x).....(-)..............(0)......(+)...........(0).......(-)......... f(x)....decrois........Min....crois.........max......decrois... L’équation d’une tangente au point d’abscisse a à un graphe f(x) a pour expression : y=f’(a)*(x-a)+f(a) L’équation de la tangente au poin a=0 à f(x) a pour expression : y=(1)*(x-0)+1=x+1 Position de la tangente par rapport à f(x) g(x)=f(x)-(x+1)= (1+x)^2*exp(-x)-(x+1)=(x+1)*((1+x)*exp(-x)-1)=(x+1)*((1+x)-exp(x))/exp(x) pour x=-1==> g(x)=0 x=0 ==> g(x)=0 x<0 ==> ((1+x)-exp(x))/exp(x) <0 car 1+x exp(x) x.................................................(-1)....................(0)........................ (x+1).................................(-)......(0).......(+).........................(+) ((1+x)-exp(x))/exp(x)........(-)..................(-)..........(0)...........(-)...... g(x)................................(+).....(0).......(-)..........(0)...........(-) Le graphe de f(x) est au dessus de sa tangente pour x<-1 Tangente horizontales y=0 et y=f(1)=4/exp(1) J'étais en train de répondre et lorsque j'ai envoyé je n'ai pas vu que BS t'avais répondu... tu auras donc une réponse en double....
lily-21 Posté(e) le 14 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 14 décembre 2009 Bonsoir ! Je vous remercie beaucoup pour les deux corrections, merci Barbidoux et Boltzmann_Solver !
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