Racines Cubiques

[edde]

salut à tous je bloque sur un exo merci de votre aide

def : soit n un entier supérieur ou égal à 2

on appelle racine n^ième de l'unité tout nombre complexe z solution de l'équation : z^n = 1

1) quelques propriétés des racines cubiques de l'unité

on pose : j= -1/2+i racinede3/2

a) vérifier que les trois solutions de l'équation z^3 = 1 sont les nombres : 1,j,j²

b) calculer la somme des racines cubiques de l'unité : 1+j+j²

c) on pose U3 (3 est en indice) = {1,j,j²} . démontrer que U3 est une partie stable de C pour la multiplication des complexes, c a d que le produit de deux éléments de U3 est aussi un élément de U3 .

on pourra recopier , compléter la table de multiplication suivante puis conclure

* 1 j j²

1

j

j²

3) représentation dans le plan complexe

on note Mo le point d'affixe 1 , M1 celui d'affixe j et M2 celui d'affixe j²

a) démontrer que le triangle MoM1M2 est équilatéral

b) démontrer que l'origine du repère est le centre de gravité de ce triangle

merci à vous

[Ericovitchi]

Pour commencer z³=1 s'écrit z³-1=0 donc (z-1)(z²+z+1)=0

[Boltzmann_Solver]

Bonjour edde, t'as un DM spécial racine cubique de l'unité???

[edde]

c'est le titre sur notre sujet

[edde]

est ce que pour la 2) b) il faut trouver 0 ?

[edde]

pouvez vous m'aider svp merci

[Barbidoux]

def : soit n un entier supérieur ou égal à 2

on appelle racine n^ième de l'unité tout nombre complexe z solution de l'équation : z^n = 1

1) quelques propriétés des racines cubiques de l'unité

on pose : j= -1/2+i √3/2

a) vérifier que les trois solutions de l'équation z^3 = 1 sont les nombres : 1,j,j^2

----------------------------

j=-1/2+i √3/2=cos(2*Pi/3)+i*sin(2*Pi/3)=exp(2*Pi*i/3)

j^2=-1/2-i√3/2==cos(4*Pi/3)+i*sin(4*Pi/3)=exp(4*Pi*i/3)

1^3=1

j^3=exp(2*Pi*i)=1

(j^2)^3=exp(4*Pi*i)=1

----------------------------

b) calculer la somme des racines cubiques de l'unité : 1+j+j^2

----------------------------

1+j+j^2=1 -1/2+i*√3/2 -1/2-i*√3/2=0

----------------------------

c) on pose U3 (3 est en indice) = {1,j,j^2} . démontrer que U3 est une partie stable de C pour la multiplication des complexes, c a d que le produit de deux éléments de U3 est aussi un élément de U3 .

on pourra recopier , compléter la table de multiplication suivante puis conclure

----------------------------

1*j=j

1*j^2=j^2

j*j^2=j^3=j

donc U₃{1, j , j^2} est une partie stable de C pour la multiplication des complexes.

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3) représentation dans le plan complexe

on note M₀ le point d'affixe 1 , M1 celui d'affixe j et M2 celui d'affixe j^2

a) démontrer que le triangle MoM1M2 est équilatéral

----------------------------

M₀M₁=-3/2+i*√3/2 ==> |M₀M₁|=√3

M₁M₂=-i*√3 ==> |M₁M₂|=√3

M₂M₀=3/2+i*√3/2 ==> |M₂M₀|=√3

Comme |M₀M₁|=|M₁M₂|=|M₂M₁| le triangle M₀M₁M₂ est équilatéral

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b) démontrer que l'origine du repère est le centre de gravité de ce triangle

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OM₀+OM₁ +OM₂=1+j+j^2=0 et O est l’isobarycentre de M₀, M₁, et M₂ donc le centre de gravité du triangle M₀M₁M₂

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