Congruence

[menaoui]

bonjour, on me demande de démontrer que 2^(n+4) congru 2^n mod 5

j'ai fais 2^(n+4)=2^n*16 donc 2^n congrus 2^n(5) et 16 congru 1(5) donc 2^(n+4) congru à 2^n*1(5) donc 2^n(5)

puis ensuite en déduire le reste de la division euclidienne de 12^1527 par 5 et la je pense que c'est deux du coup mais pk? voilà la question merci

[Barbidoux]

2^(n+4)-2^(n)=2^n*(2^4-1)=2^n*15 ce qui montre que 2^(n+4) congru 2^(n) mod 5 (puisque 15 et un multiple de 5).

On démontre de la même manière que 12^(n+4)-12^(n)=12^(n)*(12^4-1)=12^(n)*20735 or 20735 est divisible par 5 ce qui montre que 12^(n+4) congru 12^(n) modulo 5

Si 12^(n+4) congru 12^(n) mod 5 alors par récurence 12^(n+4*k) congru 12^(n) et 12^(1527)= 12^(1524+3)=12^(381*4+3) congru 12^3 et le reste de la division euclidienne de 12^1527 par 5 est égal au reste de de la division euclidienne de 12^3 par 5 soit 3.

A vérifier....

[Boltzmann_Solver]

2^(n+4) = 2^4*2^n = 16*2^n = 2^n + 15*2^n = 2^n +5*3*2^n => 2^(n+4) congrue 2^n(5). CQFD

[Boltzmann_Solver]

Il avait déjà fait. Je ferai mieux d'aller dormir. J'écris n'importe quoi. Désolé Barbidoux.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Pour la 1ère question, tu peux garder ton raisonnement. il est tout à fait juste.

2) Je te propose une version plus utilisatrice des propriétés des congruences.

12 congrue 7 mod 5 et 7 congrue 2 mod 5. Donc 12 congrue 2 mod 5.

Or tu sais que la propriété P1 te permet de dire que pour n app à N : a congrue b mod p ==> a^n congrue b^n mod p.

Par conséquent, pour tout n de N, 12^n congrue 2^n mod 5.

Or, d'après la 1ère question, pour tout n de N, 2^(n+4) congrue 2^n mod 5.

Par changement de n = m+4k ou m app à N et k app à N, on arrive à :

Pour tout k de N, 2^(m+4(k+1)) congrue 2^(m+k) mod 5.

Or, tu sais par propriété des congruences que si a congrue b mod n et b congrue c mod n, alors a congrue c mod n. Cette propriété sera appelé P2.

Par telescopage de k=0 à p-1 ou p app à N*.

2^(m+4p) congrue 2^(m+0*4) mod 5 => 2^(m+4p) congrue 2^m mod 5.

Pour p = 0, 2^m congrue 2^(m) mod 5. Toujours vraie. Donc, on peut étendre à formule du dessus pour p=0.

Maintenant, on a :

12^n congrue 2^n mod 5

2^(m+4k) congrue 2^(m) mod 5

En prenant la calculatrice, on trouve que 1527/4 = 381.75 Donc 1527 = 381*4 + 3. Par identification, on n = m+4k pour m=3 et k=381. Donc, grâce à P2, on peut écrire que :

12^n congrue 2^3 mod 5.

Or 2^3 = 8 congrue 3 mod 5

Donc par P2, 12^n congrue 3 mod 5.

On est ok avec Barbidoux.

Voilou.