Dm De Maths

[lily-21]

Bonsoir à tous ! Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît pour ce DM de maths ?

Merci beaucoup pour votre aide !

[pzorba75]

Exo 1

*****

1 (ch²x-sh²x=(chx+shx)(chx-shx)=1/4(e^x+e^-x+e^x-e-x)(e^x+e^-x-e^x+e^-x)=1/4*2e^x*2(-e^-x)=-e^x*e^-x=-e^0=-1

soit ch²x-sh²x=-1

2 ch(-x)=1/2(e^-x+e^x)=chx donc chx paire

sh(-x)=1/2(e^-x-e^+x)=-shx donc shx impaire

3 cha*chb=1/2(e^+a+e^-a)*1/2(e^b+e^-b)=1/4(e^(a+b)+e^(a-b)+e^(-a+b)+e^(-a-b))

sha*shb=1/2(e^+a-e^-a)*1/2(e^b-e^-b)=1/4(e^(a+b)-e^(a-b)-e^(-a+b)+e^(-a-b))

en additionnant

cha*chb+sha*shb=1/2(e^(a+b)+e^-(a+b)=ch(a+b)

4 Dérivées

e^x'=e^x

e^-x'=-e^-x

ch'x=1/2(e^x-e^-x)=shx

sh'x=1/2(e^x+e^-x)=chx

5 Variations

sh(0)=1/2(e^0-e^0)=0

la dérivée de sh(x) est tjrs positive chx>0 donc sh(x) toujours croissante, comme elle est impaire, elle passe par (0,0)

TV de sh(x) -inf ... 0 ... +inf

dérivée >0 >0

shx croissante

ch(0)=^1/2(e^0+e0)=1

la dérivée de chx est shx négative qd x<0 et positive qd x>0 , chx est paire, décroissante qd x<0, passe par (0,1) et croissante qd x>0

TV de ch(x) -inf ... 0 ... +inf

dérivée shx <0 0 >0

chx décroit 1 croissante

6 Limites

ch'(0)=sh(0)=0 la tangente à chx en x=0 est parallèle à l'axe des abscisses, normal pour une fonction paire continue

sh'(0)=ch(0)=1 la tangent shx en x=0 est la droite y=x

Rappels : e^x tend vers 0 qd x tend vers -inf, vers +inf qd x tend vers +inf

e^-x tend vers +inf qd x tend vers -inf, vers 0 qd x tend vers +inf

en combinant

chx tend vers +inf qd x tend vers -inf ou x tend vers +inf

shx tend vers -inf qd x tend vers -inf et +inf qd x tend vers +inf

Signe de chx-shx=1/2(e^x+e^-x-e^x+e^-x)=e^-x toujours positif donc chx au dessus de shx

Voilà, à vérifier et à rédiger.

A+

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Exo n°2 :

1)

a) Supposons qu'il existe z\in\C tel que : z^5 + z^3 + a = 0 ou a\in\R

conjugué(z^5 + z^3 + a) = conjugué(0)

conjugué(z^5) + conjugué(z^3) + conjugué(a) = 0 (Car la somme des conjugués et le conjugué de la somme)

conjugué(z)^5 + conjugué(z)^3 + a = 0 (Car conjugué d'un réel est le même réel et conjugué d'un complexe puissance n et égal au complexe conjugué à la puissance n)

Donc, c'est vrai.

b) Supposons qu'il existe z\in\C tel que : z^5 + z^3 + a = 0 ou a\in\R. Prenons, -z ==> (-z)^5 + (-z)^3 + a = 0 ==> (z)^5 + (z)^3 - a = 0 ==> Faux -z, n'est pas solution de l'équation.

c) Soit P(X), la restriction dans R de l'expression. P'(X) = 5X^4 + 3X^2 = X^2(5X^2 + 1)? Strictement positif sur R* et nul en zéro. Donc P(X) est bijective de R dans R. Conclusion, il existe un uniique X tel que P(X) = 0 avec X dans R. Donc vrai

d) Soit y\in\R, P(iy) = iy^5 - iy^3 + a = 0. Donc, on a un réel = un imaginaire pur. C'est équation n'a aucune vérité.

e) P(i) = i-i+a = a. Donc P(i) = 0 => a=0.

La suite après.

[Boltzmann_Solver]

2)

a/b) Méthode des quantités conjuguées.

f(z) = (z-1+2i)/(z-1-2i) = (x-1 + i(2+y))/(x-1 + i(y-2)) = (x-1 + i(2+y))*(x-1 - i(y-2))/[(x-1 + i(y-2))*(x-1 - i(y-2))] = (x-1 + i(2+y))*(x-1 - i(y-2))/((x-1)² + (y-2)²) = [(x-1)² - i(x-1)(y-2) + i(2+y)(x-1) + (y+2)(y-2)]/((x-1)² + (y-2)²) = ((x-1)² + y² - 4)/((x-1)² + (y-2)²) + i((x-1)*(y+2-y+2))((x-1)² + (y-2)²) = (x²-2x + y² - 3)/((x-1)² + (y-2)²) + i(4(x-1))((x-1)² + (y-2)²) CQFD.

Re(f(z)) = (x²-2x + y² - 3)/((x-1)² + (y-2)²) = ((x-1)² + y² - 4)/((x-1)² + (y-2)²) (Utile pour la question c)

Im(f(z)) = (4(x-1))((x-1)² + (y-2)²)

c) Si Re(z) = 0 => ((x-1)² + y² - 4) = 0 => (x-1)² + y² = 4 = 2². En effet, l'ensemble des points points M formant un f(z) purement imaginaire est une cercle de centre (1,0) et de rayon 2. Soit comme le dit l'énoncé un cercle de centre d'affixe 1 et de rayon 2

[lily-21]

Bonsoir à tous ! Merci bcp pour votre !

Pour l'exercice 1 : 1) je fais le calcule mais je trouve que (chx)²-(shx²)=1 et non à -1

3). Est-ce-que: cha*chb = 1/4(e(a+b)+e(-a-b)+2) ?

4). Comment on sait que (e(-x))' = -e(-x) ?

Par contre pour le 5), le 6) et le 7) j'ai pas du tout compris (pouvez-vous m'expliquer svp ?)

Je revois l'exercice 2 pour comprendre

Merci bcp pour votre aide !

[lily-21]

Pouvez-vous m'aider svp ?

[lily-21]

J'ai encore un autre problème mais avec l'exercice 2

1).b. je ne comprends pas comment vous faites pour passer de (-z)^5+(-z)^3+a=0 à z^5+z^+a=0 ?

c. je ne comprends pas bijective de R dans R

d.e je n'ai pas compris ce que vous avez fait pour la d. et la e

2). b. je ne comprends pas comment vous avez obtenu Im(f(z))

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir à tous ! Merci bcp pour votre !

Pour l'exercice 1 : 1) je fais le calcule mais je trouve que (chx)²-(shx²)=1 et non à -1

Juste

3). Est-ce-que: cha*chb = 1/4(e(a+b)+e(-a-b)+2) ?

Faux. ch(a)*ch(b) = 1/4(exp(a+b)+exp(-(a+b))+exp(a-b)+exp(-(a-b))) = 1/2(ch(a+b)+ch(a-b))

4). Comment on sait que (e(-x))' = -e(-x) ?

Par définition de la dérivée de l'exponentielle (C'est du cours)

Par contre pour le 5), le 6) et le 7) j'ai pas du tout compris (pouvez-vous m'expliquer svp ?)

Pas le courage avec ma psp (mais j'ai bon espoir d'avoir un petit portable demain).

Je revois l'exercice 2 pour comprendre

Merci bcp pour votre aide !

[Boltzmann_Solver]

J'ai encore un autre problème mais avec l'exercice 2

1).b. je ne comprends pas comment vous faites pour passer de (-z)^5+(-z)^3+a=0 à z^5+z^+a=0 ?

Tu as mal lu mes explications (-z)^5+(-z)^3+a=0 < == > (-1)^5*z^5+(-1)^3*z^3 + a=0 < == > -z^5-z^3 + a=0 < == > z^5+z^+a=0

c. je ne comprends pas bijective de R dans R

Si tu ne comprends pas bijective. P'(X) strictement croissante de -inf à +inf. Par le TVI, on peut dire qu'il existe un unique x tel que f(x)=0

d.e je n'ai pas compris ce que vous avez fait pour la d. et la e

2). b. je ne comprends pas comment vous avez obtenu Im(f(z))

[Boltzmann_Solver]

5) a) D'après 4), sh'(x) = ch(x). Or, ch(x) est définie sur R par la somme de fonction positive sur R, donc ch(x) > 0. Conclusion, sh(x) est une fonction strictement croissante sur R.

sh(0) = (e^0-e^0)/2=0

b) D'après a) sh est strictement croissante sur R et sh(0) = 0. En conséquance, quelque soit x <0, sh(x) <0 et pour tout x>0, sh(x) >0.

c)

D'après 4) ch'(x) = sh(x)

-------------------------------------------------------------------------------------------

| 	x 	|-inf 	0 	+inf

-------------------------------------------------------------------------------------------

|	sh(x) | 	- 	0 	+ 

-------------------------------------------------------------------------------------------

| 	|+inf-----\ 	/-----> +inf

| ch(x) | 	\--------\ 	/---------/

| 	| 	\---------> 2 ------/ 

-------------------------------------------------------------------------------------------

6)

lim_{x--->+inf} ch(x) = lim_{x--->+inf} (e^x+e^(-x))/2 = +inf

lim_{x--->+inf} sh(x) = lim_{x--->+inf} (e^x-e^(-x))/2 = +inf

ch(-x) = (e^(-x) + e(x))/2 = ch(x). Donc ch(x) est pair.

sh(-x) = (e^(-x) - e(x))/2 = -sh(x). Donc sh(x) est impair.

lim_{x--->+inf} ch(x) = +inf

lim_{x--->+inf} sh(x) = -inf

7) D'après l'équation de la tangante. y(x) = f'(a)(x-a) + f(a). On calcule la tangante en 0 pour :

ch(x) : y(x) = sh(0)*(x-0) + ch(0) = 2

sh(x) : y(x) = ch(0)*(x-0) + sh(0) = 2x + 0 = 2x.

Je te laisse faire le graphique.

J'attends que tu finisses l'exo 1 pour te reexpliquer la fin.

[lily-21]

Bonjour merci bcp pour l'aide !

voila ma courbe pour l'exo1

il y a un problème : dans le tableau de variation, ce n'est pas 2 c'est 1 car 1/2(e^x+e^(-x)=2/2=1

la limite de sh quand x tend vers + l'infini c'est + l'infini , c'est ce que j'ai trouvé

pour la 7). j'ai fait le graphe mais je n'arrive pas à l'envoyer, j'ai tracer les tangentes et les deux courbes, voilà.

Pour justifier la position: on étudie le signe de chx-shx. J'introduis la fonction f(x)= chx-shx. Je fais la dérivée première puis la dérivée seconde

f'(x)= -e^(-x)

f''(x)= e^(-x)

tv: signe de f''+ sur R

var de f': -infini ,croiss, -1, croiss, 0

signe de f: +

var de f: +infini, croiss,1, croiss,0

donc f(x) est sup ou égal à 0, cad, chx>= shx

donc ch au-dessus de sh

voilà qu'est-ce-que vous en pensez ?

[Boltzmann_Solver]

Bonjour merci bcp pour l'aide !

voila ma courbe pour l'exo1

il y a un problème : dans le tableau de variation,

[Boltzmann_Solver]

Bonjour merci bcp pour l'aide !

voila ma courbe pour l'exo1

il y a un problème : dans le tableau de variation, ce n'est pas 2 c'est 1 car 1/2(e^x+e^(-x)=2/2=1

la limite de sh quand x tend vers + l'infini c'est + l'infini , c'est ce que j'ai trouvé

pour la 7). j'ai fait le graphe mais je n'arrive pas à l'envoyer, j'ai tracer les tangentes et les deux courbes, voilà.

Pour justifier la position: on étudie le signe de chx-shx. J'introduis la fonction f(x)= chx-shx. Je fais la dérivée première puis la dérivée seconde

f'(x)= -e^(-x)

f''(x)= e^(-x)

tv: signe de f''+ sur R

var de f': -infini ,croiss, -1, croiss, 0

signe de f: +

var de f: +infini, croiss,1, croiss,0

donc f(x) est sup ou égal à 0, cad, chx>= shx

donc ch au-dessus de sh

voilà qu'est-ce-que vous en pensez ?

[lily-21]

Je vous remercie beaucoup Boltzmann-solver pour votre temps passé sur mes exercices !!

[Boltzmann_Solver]

Je vous remercie beaucoup Boltzmann-solver pour votre temps passé sur mes exercices !!