[Terminal S] Exercice Sur Les Suites (Urgent =S )

[Gossip-Girl69]

Bonsoir a tous. J'aurai besoin d'aide pour cette exercice de math.

On considère la suite (Un) définie par U0= 1 et Un+1=Un+2n+3 pour tout entier naturel n.

1. Etudier la monotonie de la suite (Un)

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un>n²

b) Quelle est la limite de la suite (Un) ?

3.Conjoncturer une expression de Un en fonction de n puis démontrer la propiété ainsi conjoncturée

Merci d'avance pour votre aide =)

[Boltzmann_Solver]

1) U_{n+1} - U_n = 2n+3

Or n=>0 Donc est monotone croissance.

2)a) Un =>0 : Démo par reccurence

A)UO Vrai

B) Un => n² => Un + 2n+ 3 => n² + 2n + 3 = (n+1)²+2 => U_{n+1} => (n+1)² + 2 => (n+1)²

Donc si Un vrai alors, U_{n+1}

C) Par reccurence Un =>0 pour tout n app à N

lim_{n-->+inf} Un = +inf car minoré par n²

3)

Somme_{n=0}^{m} U_{n+1} - U_n = somme_{n=0}^{m} 2n+3

=> U_{m+1} - UO = 3(m+1)+2*m*(m+1)/2

=> U_{m+1} = 1 + (m+1)[3+m]

Posons m=-1 U0 = 1. Donc on peut étendre en -1. Soit p=m+1 app à N

U_{p} = 1+ p*(p+2)

Je l'ai fait à l'arrache. Toute la rédac est à faire. Mais c'est mieux que rien, je suppose.

[Barbidoux]

1---------------------------------

U_n+1=U_n+2*n+1

Comme U₀=1 et n appartient à N on en déduit que U₀<U₁<U₂.........U_n

et la suite U_n qui est strictement croissante est donc strictement monotone

2-----------------------------------

U₁=6>1^2

U₂=13>2^2

U₃=22>3^2

U₄=33>4^2

........

on suppose

U_n>n^2 et comme U_n+1=U_n+2*n+1 ==> U_n+1>n^2+2*n+1 ==> U_n+1>(n+1)^2

donc U_n>n^2

-----------------------------------

Lorsque n -> limite de U_n ->

3-----------------------------------

On calcule

U_n-(n^2+2*n+1) et l’on constate que

U_n-(n^2+2*n+1)=2*n ==> U_n=n^2+4*n+1

[Gossip-Girl69]

Merci a tous pour votre aide ^^

J'avais fait un truc dans le genre mais je n'était vraiment pas du tout sur de mes réponses =D

[Boltzmann_Solver]

Barbidoux, je crois que ta formule est fausse pour la 3)

U0 = 1

U1 = U0 + 2*0 + 3 = 4

Et chez toi U1 = 1² + 4*1+1 = 6

[Barbidoux]

Exact j'ai mélangé les n+1 les n alors je rectifie.... en espérant ne pas avoir fait d'autres erreurs

1---------------------------------

U_n+1=U_n+2*n+3

Comme U₀=1 et n appartient à N on en déduit que U₀<U₁<U₂.........U_n

et la suite U_n qui est strictement croissante est donc strictement monotone

2-----------------------------------

U₁=4>1^2

U₂=9>2^2

U₃=16>3^2

U₄=25>4^2

........

on suppose

U_n>n^2 et comme U_n+1=U_n+2*n+3 ==> U_n+1>n^2+2*n+3 ==> U_n+1>(n+1)^2

donc U_n>n^2

-----------------------------------

Lorsque n -> limite de U_n ->

3-----------------------------------

On calcule

U_n-(n^2+2*n+3) et l’on constate que

U_n-(n^2+2*n+3)=-2 ==> U_n=n^2+2*n+1=(n+1)^2

[pcbahut]

Bonjour,

pour Un, je trouve Un=n²+4n+1 et pas (n+1)². Qui a la bonne expression?

[Barbidoux]

Bonjour,

pour Un, je trouve Un=n²+4n+1 et pas (n+1)². Qui a la bonne expression?

[Boltzmann_Solver]

J'ai la bonne expression mais j'ai "triché" pour l'obtenir (Enfin, c'est un bien grand mot). Car je ne l'ai pas conjecturé mais démontré. En effet, quand tu as u_{n+1}-u_n = f(n), tu peux démontrer le résultat par la technique dite du télescopage. En effet, en sommant termes à termes, on peut simplifier les intermédiaires et avoir une expression de Un directement.

Pour la méthode, prends celle de Barbidoux qui est à ton niveau. (J'étais à la bourre hier soir).

@+