antoine du 38 Posté(e) le 4 septembre 2009 Signaler Posté(e) le 4 septembre 2009 Salut Et oui c'est déja la rentrée et on m'a donné un exercice à faire mais j'y arrive pas , c'est pour ça que je vous demande de l'aide Merci a vous d'avance Exercice : soit la fonction definie par : f(x)=(-x^3+5x)/(x^2+3) 1/ a/ determiner lim f(x) (quand x -> - oo) b/ determiner les réels a et b tels que f(x)ax + bx /x^2+3 pour tout réel x c/ démontrer que la droite D d'équation y=-x est asymptote a C d/etudier la position relative de C et de D 2/ a Calculer f'(x) montrer que f'(x) = (x²+15)(1-x²)/(x²+3)² b/ en deduire les variations de f et dresser son tableau de variation 3 Soit T la tangente à C au point d'abcisse 0 a/ determiner l'équation reduite de T b/ etudier la position relative de C et T 4/ Construire C, T et D sur le même graphique en précisant les coordonnées de spoints d'intersection de C et de l'axe des abcisses 5/ determiner graphiquement le nombre de de solutions de l'équation f(x)=-1/2x + 1/2. La réponse sera justifiée à l'aide d'une phrase complête. A l'aide de la calculatrice préciser selon le cas une valeur exacte ou approchée a 10-² près par excès de chaque solutoion
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 4 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 septembre 2009 --------------------------- Exercice : soit la fonction définie par : f(x)=(-x^3+5x)/(x^2+3) 1/ a/ déterminer lim f(x) (quand x -> - oo) --------------- Lorsque x-> - alors 5*x <<-x^3 et 3<< x^2 ==> f(x) -x -> + --------------- b/ déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax + bx /(x^2+3) pour tout réel x --------------- f(x)=(a*x*(x^2+3)+b*x)/(x^2+3)=a*x^3-3*ax+bx= (-x^3+5x)/(x^2+3) en identifiant on obtient a=-1 et b=8 ==> f(x)=-x+8/(x^2+3) --------------- c/ démontrer que la droite D d'équation y=-x est asymptote a C d/étudier la position relative de C et de D ---------------- x-> ==> f(x) -x et la droite y=-x est assymptote au graphe de f(x) f(x)-y=8/(x^2+3) >0 et le graphe de f(x) se trouve au dessus du graphe de y=-x ---------------- 2/ a Calculer f'(x) montrer que f'(x) = (x^2+15)(1-x^2)/(x^2+3)^2 b/ en déduire les variations de f et dresser son tableau de variation ---------------- f’(x)=(5-3 x^2)/(x^2+3)-(2 x (5 x-x^3))/(x^2+3)^2 f’(x)=-(x^4+14 x^2-15)/(x^2+3)^2 comme (x^2+15)(1-x^2)=15 - 14 x^2 - x^4 on en déduit que f'(x) = (x^2+15)(1-x^2)/(x^2+3)^2 ---------------- 3 Soit T la tangente à C au point d'abscisse 0 a/ déterminer l'équation réduite de T ---------------- La tangente au point d’abscisse x0 au graphe de f(x) a pour expression : y1=(x-x0)*f’(x0)+f(x0) y1=15*x/9 ---------------- b/ étudier la position relative de C et T ---------------- f(x)-y1=(-x^3+5*x)/(x^2+3)-15*x/9=-24*x^3/(9*(x^2+3) <0 pour x>0 et >0 pour x<0 Donc le graphe de T est au dessus de f(x) pour les x>0 et en dessous pour les x<0 ---------------- 4/ Construire C, T et D sur le même graphique en précisant les coordonnées de s points d'intersection de C et de l'axe des abscisses ---------------- f(x)=x*(5-x^2)/(x^2+3)=0 pour x=0 et x= + ou - 5 ---------------- 5/ déterminer graphiquement le nombre de de solutions de l'équation f(x)=-1/2x + 1/2. La réponse sera justifiée à l'aide d'une phrase complète. A l'aide de la calculatrice préciser selon le cas une valeur exacte ou approchée a 10-2 près par excès de chaque solution ---------------- Question : f(x)=-(1/2)x + 1/2. ou bien f(x)=-1/(2 x)+ 1/2. ---------------- Il suffit de tracer le graphe de f(x) et celui de -1/2x + 1/2 et de rechercher graphiquement les points d’intersection. Pour trouver les valeurs des solution à 10^(-2) près il suffit d’étudier autour de la valeur déterminée graphiquement le signe de l’expression f(x)+1/2x-1/2 jusqu’à obtention d’un intervalle < à 10^(-2) sur lequel cette fonction change de signe (méthode de calcul numérique de la racine d’une équation par dichotomie) ---------------- A vérifier......
antoine du 38 Posté(e) le 5 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 5 septembre 2009 Merci beaucoup Barbidoux mais je crois que j'ai fait une erreur de frappe : à la question 1/b/ f(x)=ax +( bx /x^2+3) pour tout réel x J'ai oublié les parenthèses est ce que ça pose un prioblème et est ce que ça change la suite ? Merci beaucoup
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 6 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2009 En fait il y a toujours une erreur de frappe et il faut démontrer que f(x) peut se mettre sous la forme de f(x)=ax + bx /(x^2+3) pour tout réel x J'ai moi aussi fait une faute de frappe --------------- b/ déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax + bx /(x^2+3) pour tout réel x --------------- f(x)=(a*x*(x^2+3)+b*x)/(x^2+3)=a*x^3-3*ax+bx/(x^2+3)= (-x^3+5x)/(x^2+3) en identifiant on obtient a=-1 et b=8 ==> f(x)=-x+8x/(x^2+3) --------------- c/ démontrer que la droite D d'équation y=-x est asymptote a C d/étudier la position relative de C et de D ---------------- x-> ==> f(x) -x et la droite y=-x est assymptote au graphe de f(x) f(x)-y=8x/(x^2+3) >0 et le graphe de f(x) se trouve au dessus du graphe de y=-x pour x>0 et en dessous pour x<0.
antoine du 38 Posté(e) le 6 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 6 septembre 2009 J'ai bien peur que vous n'ayez pas pris en compte mon observation : l'énoncé n'est pas : b/ déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax + bx /(x^2+3) pour tout réel x mais : b/ déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax +( bx /(x^2+3)) pour tout réel x en fait ax n'est pas divisé par (x^2+3) Cela change t il la suite?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2009 J'ai bien peur que vous n'ayez pas pris en compte mon observation : l'énoncé n'est pas : b/ déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax + bx /(x^2+3) pour tout réel x mais : b/ déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax +( bx /(x^2+3)) pour tout réel x en fait ax n'est pas divisé par (x^2+3) Cela change t il la suite?
antoine du 38 Posté(e) le 9 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 9 septembre 2009 Barbidoux je suis sur le point de finir mon DM et ton aide pour mon exercice 2 est très utile et je t'en remercie, pour ta question pour la question 5 c'est -(1/2)x+(1/2) Voila donc j'ai fini cet exo sauf les deux dernières questions : -les coordonnées des points d'intersezction -valeur des 4 solutions de l'équation Merci encore !
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 9 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 9 septembre 2009 Il suffit de tracer le graphe de f(x) et celui de -1/2x + 1/2 =(1-x)/2 et de rechercher graphiquement les points d’intersection. ce qui donne x=-4,23, x=0,23 et x=3 Pour trouver les valeurs des solution à 10^(-2) près il suffit d’étudier autour de la valeur déterminée graphiquement le signe de l’expression f(x)+1/2x-1/2 jusqu’à obtention d’un intervalle < à 10^(-2) sur lequel cette fonction change de signe (méthode de calcul numérique de la racine d’une équation par dichotomie) On peut aussi résoudre l’équation : f(x)+(x-1)/2= 0 f(x)+(x-1)/2=-x^3 + 5 x)/(x^2 + 3) + (x - 1)/2 =(x^3+x^2-13 x+3)/ (x^2 + 3) =0 Si l’on divise x^3+x^2-13 x+3 par x-3 (racine trouvée partir des intersections des graphes) on obtient (x^3+x^2-13 x+3)=(x-3)*(x^2+4*x-1) Le polynome (x^2+4*x-1) admettant deux racines qui sont x= -2 - 5 et x=-2+ 5 les solutions de f(x)+(x-1)/2= 0 sont donc x= -2 - 5 , t x=-2+ 5 et x=3 A vérifier...
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