Dérivabilité D'une Fonction

[miki90]

slt à tous le monde

j ai bsn de résoudre cet exercice avec tous les details

1) est-ce que la fonction f définie pas f(x)= 2/sinx est dérivable en pi/4 ? justifiez votre réponse. Si oui, quel est le nombre dérivé de f en pi/4?

j'ai bsn de savoir comment on peut résoudre ce probleme

2) est-ce que la fonction f définie pas f(x) : abs(x-3) + 2 est dérivable en 3. Justifiez votre réponse. si oui quel est le nombre dérivé de f en 3 ?

3) soit la fonction f définie par (abs(x)+1)/x+2 sur IR-{-2}. est ce que f est dérivable en -2?

merci de faire au moins un complet

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir :-)

1) Pour répondre à cette question, il faut que tu commences par donner son domaine de définition. f(x) = goh(x) avec g(x) = 1/x et h(x) = sin(x). Etant donné que sin(x) est définie sur R, il faut juste retirer les points annulant le dénominateur. Donc f(x) est définie sur R\{0 modulo Pi}. Ne pouvant être étendue par continuité, la fonction n'est donc par dérivable pour l'ensemble des valeurs : Quelque soit k app à Z, f(x), n'est pas dérivable pour x = xk = k*Pi.

Ensuite deux méthodes pour la dérivée. Par définition de la dérivée d'une fonction composée, (goh)'(x) = h'(x)*g'oh(x) = cos(x).(-1/sin^2(x)). Comme on peut le voir ici, la dérivée est définie sur le même intervalle que sa fonction d'origine. Donc, f'(x) est définie sur R\{0 modulo Pi}. Pour répondre à la question f est bien définie, et dérivable.

Deuxième méthode, la définition de la dérivée : Si lim_{x-->Pi/4 par la gauche et la droite} (f(x) - f(Pi/4))/(x-Pi/4)) n'est ni divergente (C'est à dire, pas égale à + ou - infini) ni différente suivant l'angle d'approche, alors, la fonction est dérivable en ce point.

Comme tu peux le voir, il a deux méthodes possibles pour répondre à la question. Soit tu connais les propriétés des fonctions usuelles et tu réponds directement (Mais si tu te goures, tu passeras pour une fumiste....). Soit tu fais les calculs de limites des deux cotés pour dire de manière sûr. Je pense que pour toi, il vaut mieux que tu comprennes la deuxième méthode donc je te propose de me calculer ces limites pour les trois exercices.

Si t'as des questions...

[miki90]

{0 modulo Pi c'est qoui ca j ai pas compris ? et merci pour le message

[Boltzmann_Solver]

{0 modulo Pi c'est qoui ca j ai pas compris ? et merci pour le message

[miki90]

merci et pour la valeur absolue on fait comment, t'as une idée?

[Boltzmann_Solver]

Biensûr :-), mais j'attends que tu me proposes quelque chose :p.

Mais je suppose que tu ne vois pas, donc je te donne un indice pour ce soir, si jamais tu n'y arrives vraiment pas, je te proposerai une rédaction.

Indice 2 et 3. abs(x) n'est pas dérivable en 0 car l'existence un point anguleux en 0 rend les limites en 0+ et 0- différentes.

Pour le 1) j'attends que tu calcules les deux limites.

Cordialement.

BS

[miki90]

f(x) = goh(x) c'est qoui ca ja comprends pas

et son domaine de definition IR- {0}

[Boltzmann_Solver]

fog veut dire f composée g, soit tu appliques g dans f. Si tu ne connais pas cette fonction, oublies la première méthode (Dsl, je ne suis pas très au fait des programmes et j'ai peur de t'avoir un peu enbrouillé avec ces notations). Utilises donc, la définition de la dérivée.

Je te rapelle. Si lim_{x-->Pi/4 (Des deux cotés)} (f(x)-f(Pi/4))/(x-Pi/4) = cste, alors f est dérivable en Pi/4.

Et fait cela pour les trois questions.

[pzorba75]

1 - f=2/sin(x) est définie sur R-K*pi, la dérivée est égale à 2*-cos(x)/(sin(x))^2 (voir cours dérivée de 1/u=-u'/u^2), reste à calculer cos(pi/4)=sin(pi/4)=sqrt(2)/2 et terminer le calcul du nombre dérivé

2 - f(x)= abs(x-3) + 2

a - quand x<3 abs(x-3)=-x+3 fonc f(x)=-x+3+2=-x+5

b - en x=3 abs(3-3)=0 donc f(3)=0+2 =2,

c - quand x>3 abs(x-3)=x-3 donc f(x)=x-1

f(x) n'est pas exprimée par une seule fonction quand x tend vers 3, elle n'est pas dérivable en x=3.

3 - f(x)= (abs(x)+1)/x+2 sur IR-{-2} préciser l'écriture du dénominateur en rapport avec le domaine de définition.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Zorba et Miki90,

Désolé Zorba, mais je ne suis pas d'accord avec l'affirmation "f(x) n'est pas exprimée par une seule fonction quand x tend vers 3, elle n'est pas dérivable en x=3.".

@Mikki : Je vais employer des notions de BAC +2, donc, n'essaye pas de comprendre si ça t'embrouille.

//Remarques Début

Tu peux avoir une fonction définie par morceau tout en étant continue et dérivable. Par exemple, prenons la fonction f(x) = sin(x)/x. Elle est par définition de classe C(infini,R*). Il n'y a que le point 0 qui pose problème.

EN zéro, elle n'est pas définie mais prolongeable par continuité. En effet lim_{x---> O- ou 0+} f(x) = lim_{x---> O- ou 0+} sin(x)/x = lim_{x---> O- ou 0+} x/x = 1.

Proposons l'application g telle que :

quelque soit x app à R*, g(x) = f(x)

Si x=0, g(x) = 1

Maintenant, regardons la dérivabilité.

Soit tu calcules la dérivée par la limité des deux cotés (Je crois que c'est ce que Miki90 doit faire au vu du faite qu'elle ne connait pas encore toutes les dérivées usuelles). Soit tu calcules la dérivée sur R* et tu calcules la limite de celle-ci des deux cotés aussi.

f'(x) = (cos(x)*x-sin(x))/x^2 si x>0

= (-cos(x)*x + sin(x))/x^2

lim_{x--->O+} f'(x) = lim_{x--->O+} (cos(x)*x-sin(x))/x^2 = lim_{x--->O+} ((1-x²/2)x - x)/x²) = lim_{x--->O+} -x^3/(2x²) = 0-

lim_{x--->O-} f'(x) = lim_{x--->O+} (cos(x)*x-sin(x))/x^2 = lim_{x--->O-} ((1-x²/2)x - x)/x²) = lim_{x--->O-} -x^3/(2x²) = 0+

La dérivée est aussi prolongeable par continuité en 0. Donc, g est de classe C1®. Comme on peut le voir, g , fonction par morceau est définie et dérivable sur R.

//Remarques fin

Donc, je pense qu'elle doit soit faire les calculs de limites si elle n'est pas encore à l'aise avec le calcul de dérivée sinon, effectivement, faire les calculs de dérivée et remarquer la l'incohérence entre les dérivées en 0+ et 0- (En ayant fait le Df avant). Je ne pense pas que Miki doive faire les extensions par continuité en 1er mais je les ai mise afin de ne pas employer de mauvais arguments.

Dis moi ce que tu en penses Zorba.

[pzorba75]

J'ai répondu en me limitant aux notions vues dans le programme de 1ere. L'ouvrage que j'utilise Radial, chez Belin, donne sqrt(x) non dérivable en x=0. Je ne suis pas allé chercher plus loin dans mes souvenirs scolaires.

A+

[Boltzmann_Solver]

Et tu as juste en disant cela, le point anguleux rend la dérivée caduque. Par contre, on ne peut pas dire que c'est parce que les fonctions sont différentes en un point donné. Si tu veux un exemple utilisant abs(x), refait la même chose avec (cos(x)-1)/abs(x). Je suis peut être un peu trop pointilleux en disant cela. C'est pourquoi, la meilleur façon de procédé pour un première est d'utiliser la définition du nombre dérivé en remarquant les points à problème avec la Df de abs(x).

L'exemple que j'ai donné par prolongement est uniquement pour toi, car bien entendu, j'ai appris le prolongement, la 1er semaine de prépa (J'ai fait STL Chimie, alors les maths...) et donc est hors programme de lycée. C'est pourquoi, la seule manière de dire si une fonction est dérivable en un point est soit de connaitre les domaines de dérivabilité des fonctions usuelles et savoir les dériver sans faire de faute. Soit de calculer les limites de part et d'autre de la valeur et d'obtenir un nombre fini identique. Sachant que dans la question, il est fait mention de point et non d'ensemble, je pense que l'on cherche à faire utiliser la seconde méthode.

Mais maintenant, après discutions avec toi, je regrette d'avoir fait la méthode des domaines de dérivabilité. Mea Culpa. On verra bien les questions qu'elle posera.

Cordialement.

BS