1er S

[roti]

salut je galere sur cet exo

merci

[Papy BERNIE]

Bonjour,

1)

a)

Wn=Vn-Un

W_n+1=V_n+1-U_n+1

.........................=(Un+3Vn)/4-(Un+2Vn)/3

..........................=(Vn-Un)/12

W_n+1 / Wn=(Vn-Un)/12(Vn-Un)=1/12

Wn est géométrique de raison r=1/12 avec W1=-11

b)

Dans ce cas, le cours dit que : Wn=W1*r^n-1

Wn=(-11)(1/12)^n-1

c)

Le cours dit que si -<r<1 , alors rⁿ tend vers 0 donc la suite W converge vers 0.

J'envoie ça.

[Papy BERNIE]

2)

U_n+1-U_n=(Un+2Vn)/3-3Un/3=2(Vn-Un)/3=(2/3)Wn mais Wn est négatif donc :

U_n+1-U_n < 0

donc U_n+1 < U_n , ce qui prouve que Un est décroissante.

V_n+1-V_n=(Un+3Vn)/4 -4Vn/4=(Un-Vn)/4=-Wn/4 mais Wn est négatif donc -Wn/4 > 0:

V_n+1-V_n > 0

V_n+1 > V_n , ce qui prouve que Vn est croissante.

3) Pour montrer que Un >> Vn quel que soit n , on peut montrer que U_n+1>>V_n+1 (>> veut dire > ou = )

On va calculer U_n+1- V_n+1.

U_n+1- V_n+1=[4(Un+8Vn)-3(Un+3Vn)/12=(Un-Vn)/12=-Wn/12

Mais -Wn/12 > 0 donc :

U_n+1- V_n+1 > 0

donc U_n+1 > V_n+1

donc U_n > V_n

Comme Un est décroissante : U1 >> Un

Comme Vn croissante : Vn >> V1

donc U1 >> Un >> Vn >> V1

J'envoie.

[Papy BERNIE]

4)

a)

Je vois mal la suite : c'est t_n?

On calcule :

t_n+1-t_n= 3(U_n+1-U_n)+8(V_n+1-V_n)

mais (U_n+1-U_n)=(2/3)Wn et (V_n+1-V_n)=-Wn/4

donc

t_n+1-t_n=2Wn-2Wn=0 : suite constante.

Donc t_n+1=t_n

b)

Pour le moment je ne vois pas ce que l'on peut déduire du a) car je ne trouve pas la constante à laquelle est égale t_n

A+

[pzorba75]

Je trouve W1=V1-U1=1-12=-11 pas 1, comment as tu trouvé 1?

[Papy BERNIE]

Tu as tout à fait raison : à travailler vite sur un écran, on fait encore plus de bêtises que sur le papier. J'ai donc édité mon message pour corriger Wn. J'avais pris la valeur de V1.

Je crois que j'avais aussi une erreur sur la raison de Wn(signe faux)!! Décidément!! Car j'avais inversé Un avec Vn dans Wn=.... Mais , bon, tu aurais rectifié....

Maintenant, je vais regarder si ça change qq. chose pour le suite (je n'ai que qq. minutes mais je pourrai revoir ça demain matin éventuellement).

[Papy BERNIE]

Bon, j'ai tout refait ce matin après avoir imprimé ton énoncé que je n'arrivais pas à retourner (enfin si mais il devenait flou en agrandissant). Donc là, j'ai l'énoncé clair sous les yeux , ce qui est plus pratique . J'ai tout recalculé sur papier et non à l'écran, ce qui est aussi plus facile.

Ce que je t'ai déjà envoyé me semble correct.

Je continue donc la 4) b).

On a vu en 4) a) que t_n est une suite constante donc :

t_n=t₁ ce qui donne :

3U_n+8V_n=3U₁+8V₁=3*12+8*1=44

Donc il faut résoudre le système :

{3U_n+8V_n=44

{V_n-U_n=-11(1/12)^n-1

Tu sors V_n de la 2ème (par ex.) que tu reportes dans la 1ère.

La solution est :

U_n=4+8(1/12)^n-1

V_n=4-3(1/12)^n-1

On peut vérifier , en passant , avec ces formules, que U₁=12 et V₁=1 car (1/12)⁰=1

c) Convergence de U et V_n :

Quand n tend vers +oo, alors (1/12)ⁿ tend vers 0 donc :

U_n tend vers 4+0=4 et V_n tend vers 4-0=4

Les 2 suites convergent donc vers la même limite qui est 4.

A+