Dm Produits Scalaires

[sonia22]

Bonjour j'aurai besoin d'aide et de rectification si j'ai faux merci d'avance.

Exercice 1

a- je trouve que l'équation du cercle est (x-3)^2 + (y-1)^2 =8 centre M du cercle M est (3; 1) et le rayon est 2 2

b je pense faire x +y -6x-2y+2=-2x+1 mais après avoir faire sa je ne comprend pas comment trouver le point d'intersection d e la droite et du cercle.

c- je ne comprend vraiment rien

Exercice 2

j'aurai besoin d'aide pour commencer l'exercice je ne sais pas par quoid commencer.

exercice 3

aucune idée

exercice 4

aucune idée mais essaies n'aboutissent à rien

merciii

[pzorba75]

Exercice 2

Equations des droites AB y=x+3 et AC y=-5/4x+21/4

Milieu de AB D(-1/2,5/2), de AC E(3,3/2°

Equations des perpendiculaires à AB passant par D y=-x+2 et à AC passant par E y=4/5x-9/10, en appliquant mm'=-1 pour des droites perpendiculaires

L'intersection de y=-x+2 et y=4/5x-9/10 donne le centre du cercle circonscrit à ABC soit y=-x+2=4/5x-9/10 donne O(x:29/18,y:7/18)

L'équation du cercle est (x-29/18)2+(y-7/18)2=r² =(65²+11²)/18²=13,413

Sous réserve de vérification en faisant une figure précise.

[pzorba75]

Exercice 1

Equation du cercle

(x-3)²-9+(y-1)²-1+2=0 donne (x-3)²+(y-1)²-8=0

L'intersection du cercle et de la droite y=-2x+1 s'obtient en remplaçant y par -2x+1 dans l'équation du cercle soit

x²-6x+9+(-2x+1-1)²-8=5x²-6x+1=0 un solution évidente x=1, l'autre x=1/5 soit les points d'intersection I1(x:1,y:-1) et I2(x:1/5,y:3/5)

A vérifier sur une figure précise

[elp]

exercice 1

x²+y²-6x-2y+2=0

on remarque que x²-6x est le début du carré de (x-3)

x²-6x=x²-6x+9-9=(x-3)²-9

pareil pour:

y²-2y=y²-2y+1-1=(y-1)²-1

x²+y²-6x-2y+2=0=(x-3)²-9+(y-1)²-1+2=0

(x-3)²+(y-1)²-8=0

(x-3)²+(y-1)²=8

cercle de centre C(3,1) et de rayon rac(8)= 2*rac(2)

Intersection du cercle avec la droite y=-2x+1

les coord des pts d'intersection vérifient à la fois

x²+y²-6x-2y+2=0

y=-2x+1

On remplace y par -2x+1 ds la 1ère équation

x²+(-2x+1)²-6x-2(-2x+1)+2=0

Je n'écris pas tous les calculs, on arrive à:

5x²-6x+1=0

On calcule le discriminant delta

delta=36-20=16=4²

on trouve 2 solutions x=1 et x=1/5

on remplace x par 1 puis par 1/5 ds y=-2x+1 pour trouver y

si x=1 alors y=-1

si x=1/5 alors y=3/5

les points d'intersection sont D(1,-1) et D'(1/5,3/5)

M(x,y)= point d'inter du cercle et la tgte menée à ce cercle par le point E(7;5)

Il y a 2 tgtes au cercle issues de E

le rayon CM est perpendiculaire à ME par déf de la tgte

le produit scalair CE.EM est dc nul

CM(x-3,y-1)

EM(x-7,y-5)

CM.EM=(x-3)(x-7)+(y-1)(y-5)=0

x²-10x+y²-6y+26=0

M est aussi sur le cercle donc on a aussi

x²+y²-6x-2y+2=0

on en déduit x²+y²=6x+2y-2

on remplace x²+y² par 6x+2y-2 ds x²-10x+y²-6y+26=0

6x+2y-2-10x-6y+26=0

-4x-4y+24=0

24=4x+4y

6=x+y et y=6-x

on remplace y par 6-x ds x²+y²-6x-2y+2=0

on arrive à 2x²-16x+26=0

x²-8x+13=0

on calcule delta et on trouve 2 solutions x=4+rac(3) et x=4-rac(3)

y=6-x done y=2+rac(3) et 2-rac(3)

points F(4+rac(3); 2-rac(3)) et G(4-rac(3),2+rac(3))

ex 2

le centre du cercle circonscrit à ABC est le point d'intersection des méd des 3 côtés.

On cherche l'équation de la méd de [AB]

Soit I le milieu e [AB]

I(-1/2;5/2)

M(x,y) sur la méd de [AB] ssi MI et AB sont orthogonaux dc ssi AB.MI=0

AB(-3,-3)

MI(x+1/2,y-5/2)

AB.MI=0

(x+1/2)(-3)+(y-5/2)(-3)=0

-3x-3/2-3y+15/2=0

-3x-3y+6=0

y=-x+2

On cherche l'équation de la méd de [AC]

J le milieu de [AC] J(3,3/2)

MJ(x-3,y-3/2)

AC(4,-5)

On a MJ.AC=0

On fait comme avant

On arrive à y=(4/5)x-9/10

les coord du point d'inter des 2 méd vérifient à la fois:

y=-x+2

y=(4/5)x-9/10

On résout le système

on trouve x=29/18 et y=7/18 qui sont les coord du centre D du cercle circonscrit

le rayon est DA

DA(11/18;65/18)

longueur DA=rac((11/18)²+(65/18)²)=rac(4346)/18

th de 4è

Si un point est situé sur la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des côtés de cet angle.

On a donc MH=MK

A(-2;2) et B(2;-1)

AB(4,-3)

M(x,y) sur (AB)ssi AB et AM colinéaires

AM(x+2,y-2)

AB et AM coli. ssi:

4*(y-2)=-3(x+2)

4y-8=-3x-6

3x+4y-2=0

C'est une équation de (AB)

on en déduit que n(3,4) (3= coeff devant x et 4= coeff devany y ds l'équat de (AB) )

Mo(xo,yo)

AMo(xo+2,yo-2)

n(3,4)

AMo.n=3(xo+2)+4(yo-2)=3xo+6+4yo-8=3xo+4yo-2=0

A se projette orthogonalement en H sur (MoH)

dc la valeur absolue du pd scalaire est aussi HMo.n=produit des longueurs de HMo et n

n(3,4) dc norme de n=rac(3²+4²)=rac(25)=5

dc

valeur absolue (3xo+4yo-2)=MoH*5

et MoH = val abs(3xo+4yo-2)/5

équation de (BC) 4x+3y-5=0

un vecteur normal à BC est m(4,3)

sa longueur est rac(4²+3²)=5

On fait comme au dessus et MoH = val abs(4xo+3yo-5)/5

d) Mo est équidistant de (AB) et 5BC) ssi

val abs(3xo+4yo-2)/5=val abs(4xo+3yo-5)/5

dc on a 3x+4y-2=4x+3y-5 ou 3x+4y-2=-4x-3y+5 (si a et b ont la même val abs alors a=b ou bien a=-b)

3x+4y-2=4x+3y-5 donne x-y-3=0

3x+4y-2=-4x-3y+5 donne 7x+7y-7=0 dc x+y-1=0

On a bien la réunion de 2 droites d'équat x-y-3=0 et x+y-1=0

ex4

G bary de (A,1) (B,1)(C,2)

I milieu de [AB] dc I bary (A,1)(B,1)

G est dc le bary de (I,1+1) (C,2)

G bary (I,2)(C,2)

G est dc le milieu de [iC]

GC=CI/2

(CI) médiane ds tr équilat dc ausi hauteur et on

a CI=côté*rac(3)/2

CI=4*rac(3)/2=2rac(3)

CG=GI=CI/2=rac(3)

AIG est rect en I

On applique le th de Pythagore

AG²=AI²+GI²=2²+rac(3)²=4+3=7

AG=rac(7)

question 3

MA²+MB²+2MC²=

(MG+GA)²+(MG+GB)²+2(MG+GC)²=

MG²+2MG.GA+GA²+MG²+2MG.GB+GB²+2MG²+4MG.GC+2GC²=

4MG²+2MG.(GA+GB+2GC)+GA²+GB²+2GC²

GA+GB+2GC est nul (car G bary de ....)

GA²=7

GB²=7

GC²=rac(3)²=3

4MG²+2MG.(GA+GB+2GC)+GA²+GB²+2GC²=

4MG²+0+7+7+2*3=4MG²+20

4MG²+20=48

4MG²=28

MG²=7

MG=rac(7)

cercle centre G de rayon rac(7)