Geometrie Dans L'espace

[valbuenadu62]

slt a tous voila je n'arrive pas a resoudre cet exercice donc si vous pouvez m'aider cela serai sympa merci d'avance

[elp]

(ABCD) et (EFGH) st 2 plans parallèles (car le solide est un cube)

Le plan (ACI) coupe (ABCD) suivant la droite (AC) et (EFGH) suivant la droite (IJ).

qd 2 plans st parallèles, tt plan qui coupe l'un coupe l'autre et les intersections st 2 droites //.

Conclusion: (AC)//((IJ)

3)Soit R(x,y,z)

a) AR=kAC car R est sur la droite (AC)

b) IR.AC=0 car (AC) et (IR) sont perpendiculaires.

AR(x,y,z)

AC(1,1,0)

AR=kAC ssi

x=k

y=k

z=0

R(k,k,0)

IR(k-1/3,k-1,-1)

AC.IR=1*(k-1/3)+1*(k-1)+0*(-1)=k-1/3+k-1+0=2k-4/3

2k-4/3=0

2k=4/3

k=2/3

R(2/3,2/3,0)

IR(1/3,-1/3,-1)

IR²=1/9+1/9+1=11/9

IR=rac(11)/3

4)

n(3,-3,2)

AC(1,1,0)

AI(1/3,1,1)

Calcule les pds scalaires:

n.AC et n.AI

tu vas trouver 0.

Cela prouve que n est orthogonal à 2 droites sécantes du plan (ACI), ce qui entraine que n est orthogonal au plan (ACI)

équation du plan (ACI):

ax+by+cz+d=0

ici a=3, b=-3 et c=2 car n(3,-3,2) est orthogonal à (ACI)

3x-3y+2z+d=0

A(0,0,0) est ds ce plan dc 3*0-3*0+2*0+d=0 dc d=0

réponse: 3x-3y+2z=0

5)

F(1,0,1)

AF=valeur absolue( 3*1-3*0+2*1)/rac(3²+(-3)²+2²)=5/rac(22)

[Barbidoux]

1------------------------

2------------------------

IJ appartient a plan EFGH qui est parallèle au plan ABCD (les faces opposées d’un cube sont //) donc toutes les droites de ces deux plans sont // et en particulier AC//IJ

3------------------------

R appartient à AC ==> AR=k*AC

R appartient à IR qui est perpendiculaire à AC ==> IR.AC=0

------------------------

R appartient à la bissectrice de l’angle BAD donc les coordonnées de R sont R{a; a; 0} ==> IR{a-1/3, a-1, -1}. De la relation IR.AC=0 ==> a*(a-1/3)+a*(a-1)+0*(-1)=0 on déduit que a=2/3 ==> R{2/3; 2/3; 0} ==> IR{1/3; -1/3; -1}

------------------------

IR= ((1/3)^2+(1/3)^2+1)= (11/9)= 11/3

4------------------------

n{3; -3; 2} est perpendiculaire au plan ACI si n est perpendiculaire à deux vecteurs non colinéiares de ce plan AC et AI par exemple

AC{1; 1; 0} et AI{1/3; 1; 1}

n.AC=3*1+(-3)*1=0 et n.AI=3*(1/3)+(-3)*1+2*1=0 donc n est perpendiculaire au plan ACI.

M{x; y; z} étant un point du plan ACI ==> n.MC=0 ==> n.(MA+AC)=0 ==> n.(AC-AM)=0 ==> -3*x+3*y-2*z=0 est l’équation cartésienne du plan ACI

5------------------------

La distance d du point F{1; 0; 1} au plan -3*x+3*y+2*z vaut :

d= |-3*1+3*0-2*1|/ ((-3)^3+3^2+2^2)=5/ 22