Logarithme

[sab89]

bonjour , je bloque sur cet exercice pouvez vous m'aider :

1) j'ai trouvé qu'elles sont decroissante toutes les 2 sur [0;+ [

2) je bloque

voila merci d'avance

[Barbidoux]

f(x)=ln(1+x)-x ==> f'(x)=-x/(1+x) <0 sur [0, [ comme f(0)=0 ==> f(x) 0 sur [0, [ ==> ln(1+x) x

g(x)=ln(1+x)-x+x^2/2 ==> f'(x)=x^2/(1+x) >0 sur [0, [ comme f(0)=0 ==> f(x) 0 sur [0, [ ==> ln(1+x) x- x^2/2

[sab89]

f(x)=ln(1+x)-x ==> f'(x)=-x/(1+x) <0 sur [0, [ comme f(0)=0 ==> f(x) 0 sur [0, [ ==> ln(1+x) x

g(x)=ln(1+x)-x ==> f'(x)=x^2/(1+x) >0 sur [0, [ comme f(0)=0 ==> f(x) 0 sur [0, [ ==> ln(1+x) x- x^2/2

[Barbidoux]

je trouve pas mon erreur , quand je calcule la derivee de g(x) je trouve : g'(x)=(-2x-x²)/(1+x) ??

[sab89]

g(x)=ln(x+1)-x+x^2/2

g'(x)=1/(1+x)-1+x= (1+(x+1)*(x-1))/(1+x) =x^2/(1+x)

[elp]

ds la partie A, on a montré que pour tout x>=0, on a x-x²/2<=ln(1+x)<=x

on va remplacer x par 1/2, par 1/2², 1/2^3, etc ...jusque 1/2^n

ln(u(n)=ln(1+1/2)+ln(1+1/2²)+...ln(1+1/2^k)+...ln(1+1/2^n)

si x=1/2

1/2-1/2²*2<=ln(1+1/2)<=1/2 cà-d 1/2-(1/2)(1/4)<=ln(1+1/2)<=1/2

si x=1/2²

1/2²-(1/2)(1/2²)²<=ln(1+1/2²)<=1/2² c-à-d 1/2²-(1/2)(1/4²)<=ln(1+1/2²)<=1/2²

si x=1/2^k

1/2^k-(1/2)(1/2^k)²<=ln(1+1/2^k)<=1/2^k c-à-d 1/2^k-(1/2)(1/4^k)<=ln(1+1/2^k)<=1/2^k

si x=1/2^n

1/2^n-(1/2)(1/2^n)²<=ln(1+1/2^n)<=1/2^n c-à-d 1/2^n-(1/2)(1/4^n)<=ln(1+1/2^n)<=1/2^n

en ajoutant tous les 1ers membres, puis ts les membres du milieu puis ts les membres de droite, on a:

S(n)-(1/2)T(n)<=ln(u(n))<=S(n)

[elp]

j'ajoute la fin:

S(n) et T(n) sont 2 suites géom

pour S: 1er terme 1/2 et raison 1/2

pour T: idem avec 1/4 et 1/4

S(n)=(1/2)[(1-1/2^n)/(1-1/2)]=1-1/2^n

T(n)=(1/4)[(1-1/4^n)/(1-1/4)]=(1/3)(1-1/4^n)

lim pour S:1 et pour T:1/3

U(n+1)-U(n)=U(n)(1+1/2^(n+1))-U(n)=U(n)/2^(n+1)

on a montré que pour ttn, U(n>0 dc U(n)/2^(n+1) est >0 et U est strictement croissante

on utilise ce que l'on a trouvé avant

ln(U(n))<=S(n)

or S(n) est <=1 dc ln(U(n))<=1 dc U(n)<=e

U est str croissante et majorée pae e dc elle est convergente

S(n)-(1/2)T(n) td vers 1-(1/2)*(1/3)=1-1/6=5/6

S(n) td vers 1

on utilise la propriété admise ds l'exercice

5/6<=ln(lambda)<=1

à l'aide de la calculatrice, on peut encadrer lambda