Dm Math 1eres

[Invité latitemel]

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour ce dm svp ??

Exercice 1

Déterminer une fonction polynôme de degré trois qui admet deux extremums locaux en 0 et en 1 et dont la courbe dans un repère passe par les points A(0;4) et B(1;1).

Exercice 2

La somme de deux nombres positifs est 20. Trouver ces deux nombres, de façon que :

a) la somme de leurs carrés soit minimale;

b) le produit du carré de l'un par le cube de l'autre soit maximal.

HELP PLEASE !!!!

[Barbidoux]

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour ce dm svp ??

Exercice 1

Déterminer une fonction polynôme de degré trois qui admet deux extremums locaux en 0 et en 1

==> f'(x)=k*x*(x-1)=x^2-x et la primitive de f'(x) est de la forme f(x)=k*x^3/3-k*x^2/2 + a où a est une constante

et dont la courbe dans un repère passe par les points A(0;4) f(0)=4 ==> a=4 et B(1;1) f(0)=k*(1/3-1/2)+4=1 ==> k=18 ==> f(x)=6*x^3-9*x^2+4

Exercice 2

La somme de deux nombres positifs est 20 x+y=20 ==> y=x-20 . Trouver ces deux nombres, de façon que :

a) la somme de leurs carrés soit minimale; f(x)= x^2+y^2=x^2+(20-x)^2 = 2*x^2-40*x+400 comme f'(x)=4*x-40 ==> f(x) passe par un minimum pour x=10 et le deux nombres sont 10 et 10

b) le produit du carré de l'un par le cube de l'autre soit maximal. g(x)=x^2*y^3=x^2*(20-x)^3 ==> g'(x)=2*x*(20-x)^3-3*x^2*(20-x)^2=x*(20-x)^2*(40-5*x)=5*x*(20-x)^2*(8-x) ==> g(x) passe par un maximum (g'(x)>0 pour x<8 et <0 pour x>8) pour x=8 et la réponse est 8 et 12

HELP PLEASE !!!!

[Invité latitemel]

Merci pour ta réponse rapide.

J'ai pas compris

- pourquoi : f'(x)=k*x*(x-1)=x^2-x

- que représente k ? une constante ??

Pourrais-tu m'éclairer stp ?

[elp]

En l'absence de Barbidoux

soit f(x)=ax^3+bx²+cx+d

f(0)=4 dc: 4=0+0+0+d dc d=4

f(1)=1 dc 1=a+b+c+4 dc a+b+c=-3

f'(x)=3ax²+2bx+c

f'(0)=0 dc 0=0+0+c dc c=0

f'(1)=0 dc 0=3a+2b+c=3a+2b

a+b+c=-3 dc a+b=-3 car c=0 et b=-3-a

3a+2b=0

3a+2(-3-a)=0

3a-6-2a=0

a=6

b=-3-a=-9

f(x)=6x^3-9x²+4

on trouve le même résultat

[Invité latitemel]

D'accord j'ai compris.

Merci beaucoup.

Et pour l'exercice 2 je n'arrive pas à passer de 2*x*(20-x)^3-3*x^2*(20-x)^2 à x*(20-x)^2*(40-5*x) ?? en fait je comprends pas la fin !!??

[elp]

f(x)=x²(20-x)^3

on pose u(x)=x² et v(x)=(20-x)^3 dc f(x)=u(x)v(x)

f'=u'v+uv'

dc on a 2x(20-x)^3+(x²)*3*(-1)(20-x)^2= x(20-x)²[2(20-x)-3x]=x(20-x)²(40-5x)

(on met x et (20-x)² en facteur)

[Invité latitemel]

Merci.

Et encore une dernière question parce qu'à la fin je comprends pas : g(x) passe par un maximum (g'(x)>0 pour x<8 et <0 pour x>8) pour x=8 et la réponse est 8 et 12 ???

[elp]

g'(x)=x(20-x)²(40-5x)

x est donné positif et il est inférieur ou égal à 20

ds [0;20] g'(x) est du signe de 40-5x dc du signe de 8-x

dc signe + pour x<8, , 0si x=8 ,- pour x>8

dc g croit, atteint son max en x=8 et décroit ensuite

si x=8, alors y=20-x=20-8=12

[Invité latitemel]

Merci pour ton aide j'ai tout compris