Pb Nombre Complexe

[guillaume59]

bonjour,

voila j'ai un problème avec cet exercice sur les nombre complexe, je ne comprend pas, j'espère que vous pourrez m'aider.

l'exercice est sur scan.

merci d'avance.

[Barbidoux]

Z’ est le conjugué de Z

On pose Z= x+i*y

Z=(1+z’)/(2+z’)=(2+x+i*y)/(1+x-i*y)

=(2+x+i*y)/(1+x+i*y)/((1+x-i*y)*(1+x+i*y))

=(x^2+y^2+3*x+2+i*y)/((1+x)^2+y^2)

Pour que Z soit réel il faut que i*y/((1+x)^2+y^2) =0 ==> y=0 avec ((1+x)^2+y^2) <>0 ==> x -1. L’ensemble de z pour lequel z est un réel est donc la droite y=0 moins le point x=(-1).

Pour que Z soit un imaginaire pur il faut que

(x^2+y^2+3*x+2)/((1+x)^2+y^2) =0 ==> ((x-3/2)^2+y^2-1/4=0 avec ((1+x)^2+y^2) <>0 ==> x -1. L’ensemble de z pour lequel z est un imaginaire pur est donc le cercle centré en O{3/2, 0} à l’exception du point d’abscisse x{1/2, 0}.

A vérifier...........

[elp]

il faut zbarre différent de -1

z=x+iy donc zbarre=x-iy (si zbarre =-1 alors x=-1 et y=0, ça va servir à la fin de l'exercice)

2+zbarre=(x+2)-iy

1+zbarre =(x+1)-iy

Z=[(x+2)-iy]/[(x+1)-iy]=[(x+2)-iy]*[(x+1)+iy]/[(x+1)-iy]*[(x+1)+iy]

Z=[(x+2)(x+1)+y²+iy(x+2-x-1)]/[(x+1)-iy]*[(x+1)+iy]

Z=[x²+3x+2+iy]/[(x+1)-iy]*[(x+1)+iy]=[x²+3x+2+iy]/[(x+1)²+y²]

on en déduit X=(x²+3x+2+y²)/[(x+1)²+y²] et Y=y/[(x+1)²+y²]

Z réel ssi y=0 et x non égal à -1 dc on a bien une droite (d'équation y=0 ) privée du point (-1;0)

Z imaginaire ssi x²+3x+2+y²=0 et zbarre différent de -1

x²+3x+2+y²=x²+3x+9/4-1/4+y²=(x+3/2)²+y²-1/4

(x+3/2)²+y²-1/4=0

(x+3/2)²+y²=1/4 équation du cercle C de centre (-3/2;0) de rayon 1/2

si x=-1 et y=0, (x+3/2)²+y²=(-1+3/2)²+0²=1/4 dc le point (-1;0) est sur le cercle

conclusion: l'ensemble des points est le cercle C privé du point (-1;0)

[guillaume59]

merci a vous deux je vais étudier vos réponses.

[guillaume59]

rebonjour,

j'ai un probléme car je trouve :

Z = [x² + y² +3x+2+iy]/[(x+1)²+y²] et non Z=[x²+3x+2+iy]/[(x+1)²+y²]

et ensuite je ne comprend comment trouver X et Y.

merci.

[Barbidoux]

rebonjour,

j'ai un probléme car je trouve :

Z = [x² + y² +3x+2+iy]/[(x+1)²+y²] et non Z=[x²+3x+2+iy]/[(x+1)²+y²]

et ensuite je ne comprend comment trouver X et Y.

merci.

[guillaume59]

ah oui, merci j'ai tout compris.