Cylindre Inscrit Dans Une Spère (chapitre Derivation)

[quenty45]

Bonjour , voila l'exercice

Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6 dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique.On suppose qu'un poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r ( en dm).On cherche a déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximal

1a) Exprimer r en fonction de h

b)Demontrer que le volume V du cylindre en dm^3 peut s'écrire sous la forme :

V(h) = 2pi ( -h^3 + 36h)

2 a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximal.

b ) Déterminer la valeur exacte de ce volume en dm^3

c ) donner l'arrondi à l'unité de ce volume

Je suis perdu , merci de m'aider, je comprend rien !

[Barbidoux]

Théorème de Pythagore dans le triangle AOB

36=r^2+h^2 ==> r= (36-h^2)

Volume du cylindre

V(h)= 2*h*Pi*r^(2)= 2*Pi*(36-h^2)*h

V'(h)=-6*Pi*(x^2-12)=-6*Pi*(x- 12)*(x+ 12)

V'(x) est un polynôme du second dégré qui admet deux racine et le signe de V'(x) est celui du terme x^2 à l'extérieur des racines du polynôme :

........................ - 12............. 12 ...........

V'(x).......(-)........(0)..........(+).......(0).........(-)....

-------------------------------------------------------------

V(x)....decrois....min....crois.........max.......decrois

le volume du cylindre est maximum pour h= 12 et vaut 522,37 dm^3 L soit 523 L

A vérifier...

[elp]

Il faut faire un croquis (le cylindre est inscrit ds la sphère)

O= centre de la sphère

H=centre du fond de la poubelle

M un point commun à la sphère et au cercle délimitant le fond de la poubelle

On a un tr rectangle en H

OH=h (la moitié de la hauteur de la poubelle)

OM=6 dm (rayon de la sphère)

HM=r rayon du fond de la poubelle

On utilise le th de Pythagore

OM²=OH²+HM²

36=r²+h²

r²=36-h²

volume du cylindre = aire de base * hauteur

aire de base =pi*r²=pi*(36-h²)

hauteur 2h

volume = 2h*pi*(36-h²)=2pi*(36h-h^3)

pour le reste: V(h)=2pi(36h-h^3)

tu dois étudier les variations de V en fontion de h, donc dériver etc.....

[quenty45]

A ouai ok ! merci beaucoup !