Problème de polynôme unitaire

[julesx]

Bonsoir à tous,

Comme il y a de moins en moins de clients, je butine en espion non connecté sur d'autres sites, histoire de quand même faire fonctionner mes méninges. Je suis tombé sur l'exercice ci-joint, trouvé sur l'ile aux maths,  et vu que jusqu'à nouvel ordre, il n'y a pas de suivi, je me permets de le poster ici avec mes interrogations.

Voilà mes problèmes :
* Pour k de 0 à n, il y n+1 valeurs différentes de P(x),  c'est possible, mais ça fait une valeur de trop si on voulait en déduire les coefficients de k. Ce n'est demandé ni forcément indispensable, mais pour k=0, cela entraine obligatoirement que le coefficient constant de P(x) est nul. A priori, cela devrait plutôt être de k=0 à n-1 ou k=1 à n, non ?
* Le degré de Q est forcément n+1, donc Q a n+1 racines, dont les n premières valeurs de k utilisées au départ (k de 1 à n si on oublie k=0). Donc la factorisation jusque là est facile, par contre, il reste le terme en xⁿ⁺¹ et je ne vois pas comment trouver la racine correspondante. Une simulation avec un logiciel de calcul formel pour quelques polynômes ne me  donne pas de solution interprétable. Compte tenu de ceci, je ne vois évidemment pas comment on peut calculer Q(n+1). Par contre P(n+1) s'en déduirait facilement.
Si l'un d'entre vous a des idées...

Cela dit, excellentes fêtes de fin d'année à tout le monde.

Julesx

[Black Jack]

Bonjour,

Q(k) = (k+1) * P(k) - k
Q(k) = (k+1) * k/(k+1) - k
Q(k) = 0

Donc les racines de Q(x) sont toutes les valeurs de k entier dans [0 ; n], soit donc (n+1) racines.

Q(x) = x.(x-1).(x-2)*(x-3) * ... * (x-n)

Q(n+1) = (n+1)*n*(n-1)*...*1 = (n+1)!

Q(n+1) = (n+2) * P(n+1) - (n+1)
 
(n+1)! = (n+2) * P(n+1) - (n+1)

P(n+1) = [(n+1)! + (n+1)]/(n + 2)

Aucun calculs vérifiés.

Modifié le 24 décembre 2023 par Black Jack

[julesx]

Bonjour,

Merci pour le retour.

A priori, donc, il ne fallait pas essayer de partir de P(x) sous la forme habituelle mais n'utiliser que la relation P(k)=k/(k+1). On obtient bien ainsi Q(x)=x.(x-1).(x-2)*(x-3) * ... * (x-n).

Mais, sauf si quelque chose continue à m'échapper, si on essayait de retrouver P(x) à partir Q(x)=(x+1)*P(x)-x, on aurait du mal à trouver une forme de polynôme à cause du x+1 au dénominateur.