DMmaths expertes urgent

[cadorchloe]

J'ai besoin d'aide sur la question 3 de cet exercice de maths experts svp, j'ai déjà essayé plein de trucs mais je ne trouve pas la bonne récurrence. 

Est-ce que quelqu'un assez calé sur le sujet peut m'aider svp ???

(j'ai déjà réussi les deux premières questions et l'initialisation de la récurrence)

Merci beaucoup

 

[julesx]

Bonjour et bienvenue sur le site,

Si ce n'est pas trop tard...

Soit à montrer que P(n) : Aⁿ=I₃+nJ+n(n-1)/2*J²

Initialisation
Pour n=1, A¹=A=I₃+J
P(1) est donc vraie.

Hérédité
Soit k un entier naturel positif. On suppose P(k) vraie. Montrons que P(k+1) est aussi vraie, c’est à dire que
 A^k+1=I₃+(k+1)J+(k+1)k/2*J²
Par hypothèse de récurrence
 A^k=I₃+kJ+k(k-1)/2*J²
A^k+1=A^k*A=A^k*(I₃+J)=(I₃+kJ+k(k-1)/2*J²)*(I₃+J)
Je te laisse développer et simplifier le produit pour arriver finalement à
 A^k+1=I₃+(k+1)J+(k+1)k/2*J²
On a donc P(k+1) vrai.
P(n) est initialisé et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel n.

Si nécessaire, reviens pour des compléments.