Mathématiques applications du produit scalaire

[Eleor]

Bonjour j'ai un grand devoir en trois parties mais je ne comprends pas grand chose.

Ça commence ainsi : Soient A et B deux points distincts et k un réel strictement

Positif. On note E_{k} l'ensemble des points M du plan tels

que (MA)/(MB) = k

Je vous mets les questions de la première partie en pièce jointe 

Pour la 1, je suppose que E1 est l'ensemble des points M pour lesquels les distances MA et MB sont égales. 

Ensuite pour la deux je pense qu'on attend un développement de MA/MB = k mais je ne comprends pas comment je peux y arriver. Tout ce que je peux faire c'est faire tourner la formule. 

Merci de bien vouloir m'aider !

[julesx]

Bonjour,

1) Oui, mais quel est cet ensemble ?

2) Développe la relation de droite (celle à base de vecteurs) et regarde si tu retrouves le terme de gauche.

[Eleor]

il y a 26 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

1) Oui, mais quel est cet ensemble ?

2) Développe la relation de droite (celle à base de vecteurs) et regarde si tu retrouves le terme de gauche.

1)E1 l'ensemble des points M du plans tel que MA/ MB = 1, et donc ça appartient aux réels ? 

2) Non je n'ai pas l'impression de faire juste quand je développe. J'ai fait comme si c'était une double distributivité mais je retrouve pas ce que je devrais retrouver. 

 

[julesx]

1) Géométriquement, quand un point est équidistant de deux autres où se trouve-t-il ?

2) Je note les vecteurs en gras : ((MA-kMB)(MA+kMB)=MA²-kMA.MB+MA.kMB-k²MB²)=MA²-k²MB²
MA²-k²MB²=(MA-kMB)(MA+kMB) en termes de longueurs.
Il ne reste plus qu'à interpréter la relation (MA-kMB)(MA+kMB)=0 et conclure.

[Eleor]

il y a 20 minutes, julesx a dit :

1) Géométriquement, quand un point est équidistant de deux autres où se trouve-t-il ?

2) Je note les vecteurs en gras : ((MA-kMB)(MA+kMB)=MA²-kMA.MB-MA.kMB-k²MB²)=
MA²-k²MB²=(MA-kMB)(MA+kMB) en termes de longueurs.
Il ne reste plus qu'à interpréter cette dernière relation et conclure.

1) au centre, donc M est au centre de AB ? 

2) je ne comprends pas comment kMA.MB- MA.kMB de la deuxième ligne est devenue (MA-kMB)(MA+kMB) à la dernière ligne. Pour l'interprétation j'ai bien compris que donc on obtient MA² = k²MB² donc MA²/MB² = k² donc MA/MB=k

[julesx]

1) La médiatrice d'un segment, ça te dit quelque chose ?

2) Désolé, faute de frappe, c'est -kMA.MB+MA.kMB donc ces deux termes s'éliminent et il ne reste bien que MA²-k²MB².
Ensuite, on utilise a²-b²=(a-b)(a+b) soit MA²-k²MB²=(MA-kMB)(MA+kMB).
Ce produit est nul, mais comme k, MA et MB sont positifs, seul MA-kMB=0 est possibkle et donne bien MA/MB=k.

[Eleor]

il y a 24 minutes, julesx a dit :

1) La médiatrice d'un segment, ça te dit quelque chose ?

2) Désolé, faute de frappe, c'est -kMA.MB+MA.kMB donc ces deux termes s'éliminent et il ne reste bien que MA²-k²MB².
Ensuite, on utilise a²-b²=(a-b)(a+b) soit MA²-k²MB²=(MA-kMB)(MA+kMB).
Ce produit est nul, mais comme k, MA et MB sont positifs, seul MA-kMB=0 est possibkle et donne bien MA/MB=k.

1) oui c'est la droite qui passe par le centre elle est perpendiculaire au segment. On doit dire que M est la médiatrice de AB ?

2) D'accord je comprends mieux.

Petite question pour le développement, quand on écrit -kMA.MB + MA.kMB c'est pareil que -kMB.MA + MA. kMB ? 

[julesx]

1) Voilà c'est ça, donc l'ensemble E₁ est la médiatrice du segment [AB].

2) Oui, car le produit scalaire est commutatif.

[Eleor]

il y a 28 minutes, julesx a dit :

1) Voilà c'est ça, donc l'ensemble E₁ est la médiatrice du segment [AB].

2) Oui, car le produit scalaire est commutatif.

D'accord merci,

Pour la 3, pour justifier que A,B,D,E sont alignés je peux voir que d'après la norme du vecteur BD, que (BD) et (BA) sont perpendiculaires en B et que d'après la norme du vecteur BE, que (BE) et (BA) sont aussi perpendiculaires en B. Donc je pense pouvoir dire que E, B, A sont alignés. Et pour D, je sais que le vecteur BD est égal au vecteur BA+ vecteur BD mais je sais pas si c'est suffisant pour en déduire que c'est aligné aussi. 

[julesx]

Absolument pas, je ne sais pas d'où tu sors cette histoire de normes. En plus, si les vecteurs étaient perpendiculaires, A, B et D ou A, B et E , ne pourraient pas être alignés. Ensuite, avec mes notations, ce n'est pas BD= BA +BD mais BD=BA+AD, application de la relation de Chasles.
Conclusion, tu n'as rien démontré !

Par contre, BD=1/(k+1)*BA avec 1/k(+1) non nul entraîne que BD et BA sont colinéaires , donc B, D et A sont alignés.
C'est pareil pour BE et BA à condition de tenir compte du fait que k est différent de 1.
Il y a peut-être des notions de math que tu n'as pas assimilées, il faut absolument que tu les revois et que tu les comprennes.

 

[Eleor]

il y a 36 minutes, julesx a dit :

Absolument pas, je ne sais pas d'où tu sors cette histoire de normes. En plus, si les vecteurs étaient perpendiculaires, A, B et D ou A, B et E , ne pourraient pas être alignés. Ensuite, avec mes notations, ce n'est pas BD= BA +BD mais BD=BA+AD, application de la relation de Chasles.
Conclusion, tu n'as rien démontré !

Par contre, BD=1/(k+1)*BA avec 1/k(+1) non nul entraîne que BD et BA sont colinéaires , donc B, D et A sont alignés.
C'est pareil pour BE et BA à condition de tenir compte du fait que k est différent de 1.
Il y a peut-être des notions de math que tu n'as pas assimilées, il faut absolument que tu les revois et que tu les comprennes.

 

Aie, d'accord merci du conseil, je me contenterai de regarder des vidéos sur mon chapitre ce soir avant de poursuivre l'exercice demain. 

Bonne soirée et à bientôt

[julesx]

Bonne soirée également.

[Eleor]

Le 21/03/2023 à 21:03, julesx a dit :

Bonne soirée également.

Bonsoir, 

Pour pouvoir continuer l'exercice on me demande en utilisant la relation de Chasles de montrer une égalité. 

Par exemple pour la première je sais que

MA= MD + DA et MB = MD + DB

Et je sais que BD = 1/(k+1) BA grâce à la question au dessus mais à partir de là je suis bloquée.  

Modifié le 22 mars 2023 par Eleor

[julesx]

Bonjour,

C'est bien de là qu'il faut partir.

Toujours avec ma notation de vecteurs...

BA=(k+1)BD dont j'inverse tout de suite le k+1 en 1+k soit BA=(1+k)BD
BA=BM+MA
BD=BM+MD
=>
BM+MA=(1+k)(BM+MD)
soit, en passant (1+k)BM à gauche et en arrangeant un peu,
MA-kBM=(1+k)MD
d'où
MA+kMB=(1+k)MD

Pour la deuxième relation, la démarche est quasi la même.

[Eleor]

Il y a 4 heures, julesx a dit :

Bonjour,

C'est bien de là qu'il faut partir.

Toujours avec ma notation de vecteurs...

BA=(k+1)BD dont j'inverse tout de suite le k+1 en 1+k soit BA=(1+k)BD
BA=BM+MA
BD=BM+MD
=>
BM+MA=(1+k)(BM+MD)
soit, en passant (1+k)BM à gauche et en arrangeant un peu,
MA-kBM=(1+k)MD
d'où
MA+kMB=(1+k)MD

Pour la deuxième relation, la démarche est quasi la même.

D'accord donc pour la deuxième :

BA= (1-k) BE

BA= BM+MA 

BE= BM + ME 

BM + MA = (1-k) (BM+ME)

BM + MA = (1-k)BM + (1-k)ME

MA+ kBM = (1-k)ME

MA - kMB = (1-k) ME

J'ai juste une petite question, quand je passe le (1-k)BM à gauche que devient le BM qui était déjà à gauche ? 

[julesx]

Bonjour,

(1-k)BM passé à gauche devient -(1-k)BM, soit -BM+kBM et le -BM s'élimine avec celui qui y était déjà.

[Eleor]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Bonjour,

(1-k)BM passé à gauche devient -(1-k)BM, soit -BM+kBM et le -BM s'élimine avec celui qui y était déjà.

Je comprends d'accord, c'est la distribution qui m'avait échappé merci. 

Pour la suite on me demande de déduire que MA/MB = k est pareil que MD.ME = 0

Mais j'ai l'impression que chaque fois qu'on me demande de justifier une égalité, ou la montrer ou la déduire je rencontre un petit souci car je ne sais pas comment commencer, par où m'y prendre. Par exemple ici j'ai pensé à utiliser la relation de Chasles sur MD.ME=0 mais ça m'a mené nulle part.

En plus comme c'est "en déduire" je suppose que ça doit être en lien avec ce qu'on a démontré avant mais je ne sais pas comment l'utiliser. 

[julesx]

Oui, effectivement, ça a un lien avec tout ce qui précède.

Tu as montré que MA/MB=k équivaut à (MA-kMB)(MA+kMB)=0.

Ensuite tu as montré que
MA+kMB=(1+k)*MD
MA-kMB=(1-k)*ME

On exploite donc le fait que le produit des termes de gauche est nul, en écrivant que
(1+k)*MD*(1-k)*ME=0
soit
(1-k²)*MD.ME=0 en remplaçant la multiplication par le produit scalaire
et comme k est différent de 1 tu en déduis...

[Eleor]

il y a 14 minutes, julesx a dit :

Oui, effectivement, ça a un lien avec tout ce qui précède.

Tu as montré que MA/MB=k équivaut à (MA-kMB)(MA+kMB)=0.

Ensuite tu as montré que
MA+kMB=(1+k)*MD
MA-kMB=(1-k)*ME

On exploite donc le fait que le produit des termes de gauche est nul, en écrivant que
(1+k)*MD*(1-k)*ME=0
soit
(1-k²)*MD.ME=0 en remplaçant la multiplication par le produit scalaire
et comme k est différent de 1 tu en déduis...

Que c'est MD.ME qui est nul 

Et donc ceci c'est pareil que MA/MB = k ? 

Enfin je pense que ça doit être logique puisqu'on est parti de là. 

[julesx]

Voilà, mais il est bon quelquefois de relire l'énoncé pour voir ce qu'on cherche.

Le point de départ est qu'on cherche l'ensemble E_k des points du plan tels que MA/MB=k.

On commence par étudier le cas particulier k=1 qui risque de poser un problème pour la suite. On constate que E₁ est la médiatrice du segment [AB].

Ce cas étant résolu, on admet dans tout ce qui qui suit que k≠1. Partant de là, on aboutit finalement à MD.ME=0 avec les points D et E appartenant à [AB] et parfaitement définis par les relations de la question 3. Ceci définit complètement les ensembles E_k, cf. conclusion de la question 4.

La question 5 est simplement là pour voir comment se situent D et E sur le segment [AB].

N.B. : Ce n'est pas mon rôle, mais si je peux me permettre, tu ne sembles pas au top en ce qui concerne les maths. Éventuellement, tu peux dire à ton prof que, si tu as entièrement résolu l'exercice, c'est aussi grâce à une aide importante auxiliaire. Après, c'est à lui de voir s'il veut ou peut faire quelque chose pour toi.

[Eleor]

il y a 15 minutes, julesx a dit :

Voilà, mais il est bon quelquefois de relire l'énoncé pour voir ce qu'on cherche.

Le point de départ est qu'on cherche l'ensemble E_k des points du plan tels que MA/MB=k.

On commence par étudier le cas particulier k=1 qui risque de poser un problème pour la suite. On constate que E₁ est la médiatrice du segment [AB].

Ce cas étant résolu, on admet dans tout ce qui qui suit que k≠1. Partant de là, on aboutit finalement à MD.ME=0 avec les points D et E appartenant à [AB] et parfaitement définis par les relations de la question 3. Ceci définit complètement les ensembles E_k, cf. conclusion de la question 4.

La question 5 est simplement là pour voir comment se situent D et E sur le segment [AB].

N.B. : Ce n'est pas mon rôle, mais si je peux me permettre, tu ne sembles pas au top en ce qui concerne les maths. Éventuellement, tu peux dire à ton prof que, si tu as entièrement résolu l'exercice, c'est aussi grâce à une aide importante auxiliaire. Après, c'est à lui de voir s'il veut ou peut faire quelque chose pour toi.

D'accord merci

Sinon, la plupart des professeurs que j'ai accélèrent le rythme et entre les grèves, les jours fériés etc je ne pense pas que qu'il y en ait qui voudront modifier quoi que ce soit. En classe de spé maths on est assez nombreux, lors des séances on fait toujours des exercices qu'on corrige au même moment et on regarde la leçon. Mais oui je lui dirai, et j'essaierai de  consacrer plus de temps pour cette matière merci.