Développement en série de l'exponentielle - Terminale Spécialité

[pzorba75]

Bonjour à tous,

dans un problème conduisant au développement de exp(x) en série , somme(k=0 à n)x^k/k!, je bloque pour démontrer, avec les connaissances du programme de terminale,  la convergence de l'intégrale de 0 à x  de fn(t) dt, sachant que intégrale de 0 à x de fn(t) dt<=x^{n+1}/(n+1)!\e^x.

J'ai rédigé le sujet complet et une bonne part de la solution que je mets en pièce jointe pour les personnes intéressées par ce problème, présenté comme une démonstration de cours.

Je remercie pour toutes les remarques sur mon document, peut-être avec des erreurs que je me ferai un plaisir de corriger.

D'avance, bon week-end à tous les courageux qui vont m'aider.

Exo-165-p269-Developpement-en-serie-de-l'exponentielle.pdf

[Black Jack]

Bonjour,

Suggestion (mais je ne suis pas matheux et donc méfiance ...)

1c)

A partir du résultat de 1b.

Posons U(k) = x^(k+1)/((n+1)!)

On a alors U(k+1) = x^(k+2)/((k+2)!)

U(k+1)/U(k) = x/(k+2)

Donc U(k+1)/U(k) < 1 pour k > x - 2

La suite Uk est donc décroissante pour k > x - 2

x^(n+1)/((n+1)!) * e^x < x^(ent(x))/(ent(x)!) * e^x
****
U(n+1)/U(n) < 1 (pour n ent(x) - 1)

Les termes de Un sont inférieurs (à partir du rang n = ent(x) - 1) à ceux d'une suite géométrique de raison = 1 - epsilon (epsilon petit mais > 0) ...
et donc lim(n--> +oo) U(n) = 0

Sauf si je me suis égaré.

 

 

[pzorba75]

Je prends cette réponse qu'un élève de terminale peut produire avec ce qui est à son programme. Je manque d'imagination dans ce genre de question, ce qui me bloquait était aussi le fait du produit par exp(x), quand x tend vers l'infini. 

Merci et bon week-end.