Aide maths

[Jal2]

Bonjour, 

J'ai besoin d'aide pour un DM de maths car je n'arrive pas à démarrer. J'ai tracé la fonction f. Faut-il prendre le carré A= 0,25 unités d'aires, et compter combien de carrés viennent combler la fonction f ? 

Mon professeur a dit de ne pas utiliser la notion d'intégrale pour le DM.

Merci d'avance pour votre réponse

DM Maths.pdf

Ou bien faut-il utiliser le rectangle A = 0,5 unités d'aires ?

[julesx]

Bonjour,

L'unité d'aire est parfaitement définie dans l'énoncé, c'est l'aire du rectangle correspondant aux unités i et j en abscisse et en ordonnée.
Donc, pour le I, si on compte les carrés de côtés 0,5, l'unité d'aire est 2*2=4 carrés.
En d'autres termes, une fois tracé la courbe, après avoir compté le nombre total de carrés qui comblent cette courbe, tu divises le résultat par 4 pour avoir l'aire.

[Jal2]

Je ne comprends pas pourquoi l'unité d'aire est 2*2, car le carré de côté 0,5, a une aire de 0,25 ?

Modifié le 1 mai 2022 par Jal2

[julesx]

Rectification, c'est 2*2, faute de frappe. Oui, chaque carré a bien une aire de 0,5*0,5=0,25, mais l'unité d'aire correspond au carré de côté 1, qui contient 4 carrés de côté 0,25.

[Black Jack]

Bonjour,

 

"Faut-il prendre le carré A= 0,25 unités d'aires

Ou bien faut-il utiliser le rectangle A = 0,5 unités d'aires ?"

Ni l'un ni l'autre, l'unité d'aire est une aire de valeur 1.

Je fais l'exercice 2 pour montrer :

 

 

 

[Jal2]

Si j'ai bien compris, en faisant des découpes, il faut faire en sorte de former un carré ? (en classe, nous n'avons pas encore aborder la notion d'intégrale)

Pour le I., j'ai donc trouvé au total 33 carrés mais comme l'unité d'aire = 4 carrés, alors A = 33/4 = 8,25 unités d'aires ?

[Jal2]

J'ai continué jusqu'au III. 

2. 1 unité d'aire = 25 carrés du quadrillage. J'ai compté 14 carrés entier, et en faisant des découpes, et en assemblant, j'ai trouvé 2 carrés entier et environ 1 carré, donc un total de 17 carrés, donc A = 17/25 = 0,68 unités d'aires (environ).

3. a. J'ai refait la même démarche et j'ai trouvé un total de 16 carrés, donc A =  0,64 unités d'aires

b. J'ai refait la même démarche, j'ai trouvé 17 carrés entier mais avec les découpages je n'arrive pas à former de carré entier, donc est-ce que je met une valeur arrondi ? 

[Jal2]

Egalement, j'ai une question pour le 4.a,

Comment peut-on montrer que la suite est croissante ou décroissante, si l'on n'a pas (u_n) ?

Modifié le 1 mai 2022 par Jal2

[julesx]

Un peu d'aide, mais je ne resterai pas connecté.

I OK

III 2) OK
3)a) OK
3)b) Moi, j'aurais "arrondi" la somme des bouts de carrés à 1 carré, ce qui donne au total 18 carrés entiers, soit A=18/25=0,72 environ.

4)a) Pour montrer la variation d'une suite, on calcule généralement U_n+1-U_n donc ici avec les s_n et les S_n. La petite difficulté, c'est d'écrire les s_n+1 et S_n+1 vu leur définition.
Je te fais le premier, essaie le deuxième dans le même ordre d'idée.

Comme 2n+1 est inférieur à 2n+2, 1/(2n+1) est supérieur à 1/(2n+2) donc s_n+1 est supérieur à s_n et la suite est croissante.

 

 

[Black Jack]

Bonjour,

 

Pour moi, il faut être plus précis pour les questions 3.
On ne doit pas utiliser le calcul intégral mais rien n'interdit d'utiliser sa calculette, tout est en place pour le faire :

3a :
s5 =  0,2/1,2  + 0,2/1,4 + 0,2/1,6 + 0,2/1,8 + 0,2/2 = 0,6456...

3b 
S5 = 0,2/1 + 0,2/1,2  + 0,2/1,4 + 0,2/1,6 + 0,2/1,8 = 0,7456...

Et donc 0,6456 < A < 0,7456...

[Jal2]

Merci pour vos réponses,

Mais je ne comprends pas pourquoi : 

s_n+1= 1 / (n+2) + 1/ (n+3) + ... + 1/2n+1 + 1/2n+2 

et pas s_n+1= 1/ (n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/2n+2

car 1/2(n+1) = 1/2n+2 ?

[julesx]

@ Black Jack

Oui, c'est aussi une façon de voir les choses. Mais on peut aussi rester dans le droit fil de ce qui précède et raisonner en termes de carrés. Mais je ne conteste pas ta vue du problème.

@JaL2

Ce n'est pas la même chose ? Moi, j'ai simplement rajouté le terme précédent parce que j'en ai besoin pour montrer que la différence est positive. Mais si tu as une autre idée...

[Jal2]

Mais en faisant la différence, il faut garder les termes 1/2n et 1/n+3 ?

[julesx]

Il faut garder ce qui reste, c'est un différence "télescopique". Écris un peu plus de termes et regarde ce qui reste.

[Jal2]

Ah mais oui, je viens de comprendre, merci, je vais essayer de faire le 2ème

[Jal2]

Pour le 2ème, j'ai trouvé

_Sn+1-S_n= 1/(2n+2) - 1/(2n-1),

Comme 2n+2 est supérieur à 2n-1, 1/(2n+2) est inférieur à 1/(2n-1) donc S_n+1 est inférieur à S_n et la suite est décroissante.

[julesx]

Moi, j'ai trouvé autre chose, voir ci-dessous

Mais ta conclusion reste juste.

Bon, là, je me déconnecte définitivement. Bonsoir. Si c'est encore d'actualité demain, je veux bien continuer à t'aider. Mais si un autre intervenant veut prendre le relais, qu'il n'hésite pas.

[Jal2]

Pour la 4.b on peut dire que (s_n) est en dessous de la courbe de la fonction donc elle est majorée et  (S_n) est au dessus de la courbe de la fonction donc elle est minorée.

4.c Les suites convergent vers une limite l

4. d. Faut-il faire la limite du dernier terme de la suite ? 

Concernant, la question 4.a je vais revoir tout de suite de mon côté pour le calcul, merci

D'accord, je viens de voir votre message, merci pour votre aide, normalement je serais encore en ligne demain, merci, bonne soirée !

Modifié le 1 mai 2022 par Jal2

[julesx]

Bonjour,

Pour les différentes questions, voilà ce que j'aurais répondu, mais tu peux l'adapter.

4)b) sn est majorée car tous les rectangles qui la composent sont en dessous de l'aire de la courbe 1/x, donc sn est majorée par A.
Sn est majorée car tous les rectangles qui la composent sont au dessus de l'aire de la courbe 1/x, donc Sn est minorée par A.
c) Les suites convergent (voir résultats du cours).
d)S_n-s_n =1/n-1/(2n)=1/(2n)
n->+ ∞  => 1/(2n)->0 donc S_n-s_n->0.
e) S_n-s_n->0 => Les limites sont les mêmes.
f) sn et Sn tendent vers A.

Il n'y a plus qu'à faire la question 5. Bon courage !

[Jal2]

Bonsoir,

Pour la 4.d) Comment sait-on que Sn = 1/n et s_n= 1/2n ?

Ensuite, j'ai compris pour la 4)e et 4)f, merci pour vos explications 

J'aimerais savoir, pour la question 5) a.) si vous pouviez aussi vérifier mon programme Python, car il ne marche pas quand je le met sur la console Python:

def sommesup (n) : 

           S=0

           for i in range (n; 2*n)

                S= S+1/i

           print (S)

 

Modifié le 2 mai 2022 par Jal2

[julesx]

il y a 9 minutes, Jal2 a dit :

Pour la 4.d) Comment sait-on que Sn = 1/n et s_n= 1/2n ?

On n'a pas S_n = 1/n et s_n= 1/2n c'est la différence qui se réduit à cela, il s'agit de ce qu'on nomme une différence télescopique  :
s_n=1/(n+1)+1/(n+2)+...+ 1/(2n)
S_n=1/n+1/(n+1)+...+1/(2n-1)
Écris la différence avec un peu plus de termes, tu verras qu'ils s'éliminent deux à deux et qu'il ne reste finalement que 1/n-1/(2n). C'est le principe de ce type de sommes.

 

 

[Jal2]

Ah d'accord, c'est le même principe que S_n+1-S_n, merci pour l'explication !

Egalement, quand je rentre le programme python de l'énoncé sur le lien donné, ca ne marche pas et j'ai des messages d'erreurs, est-ce que le mieux à faire est de télécharger python ?

J'ai ce message d'erreur : 

 File "<input>", line 1

    def sommeinf (10) :

                  ^

SyntaxError: invalid syntax

 File "<input>", line 1

    def sommeinf (10) :

                  ^

SyntaxError: invalid syntax

Modifié le 2 mai 2022 par Jal2

[Jal2]

Finalement, je viens de trouver le problème : 

J'ai donc trouvé pour :

b. s₁₀ =0.669 à 10^-3 près et S₁₀= 0,720 à 10^-3 près, est-ce correct ?

[julesx]

OK, tu as trouvé l'erreur, dans le def on laisse un nom de variable. C'est dans l'appel de la fonction qu'on met la valeur numérique.
C'est bien ça pour le résultat. Tu en déduis que 0,669<A<0,720, mais j'aurais dit 0,719 pour l'arrondi de 0,718771403175428.
 

[Jal2]

D'accord, merci j'ai compris, j'ai ensuite trouvé : 

5. c. 0,6920 < A < 0,6944 (proche de la valeur trouvée au début)

5. d. e^0,6920= 1.998 à 10^-3 près

et e^0,6944 = 2.003 à 10^-3 près

donc il semble que limite L =0,69

5. a. A = 0,69 

Est-ce correct ?

Modifié le 2 mai 2022 par Jal2