Hérédité

[Dada69]

Bonjour, je bloque sur cette exercice ( Question b) . Si quelqu'un pouvait m'aider.Merci d'avance pour votre aide :

1. Soit n un entier naturel. On considère la proposition P(n): 3^n ≥ (n+2)²

b. Hérédité : on suppose qu'il existe un entier n ≥ 3 tel que P(n) est vraie. Exprimer alors l'inégalité P(n+1) que l'on doit prouver.

 

[julesx]

Bonjour,

On doit prouver que P(n+1) est vraie, donc que  3ⁿ⁺¹≥(n+1+2)².

[Dada69]

j'ai écris sa dans ma feuille mais après je suis bloqué 

 

[julesx]

Si je prends l'énoncé au pied de la lettre, c'est tout ce qu'il faut écrire. Bien sûr, si l'énoncé sous-entend qu'il faut prouver l'hérédité, il faut aller plus loin.
On part donc de P(n)
3ⁿ≥(n+2)²
or 3ⁿ⁺¹=3*3ⁿ donc3ⁿ⁺¹ ≥3*(n+2)²
3*(n+2)²=3n²+12n+12=2n²+6n+3+(n+3)²
Comme 2n²+6n+3 est forcément positif, on a 3*(n+2)²>(n+3)².

Tu regardes si tu peux terminer...

[Dada69]

il suffit de montrer que 3*(n+2)²  (n+3)²

Pour cela il faut étudier le signe de 3*(n+2)² - (n+3)² 

3*(n+2)² - (n+3)² = 3 x n²+4n + 4 - n²-6n-9

                             = 3n² + 4n + 4 - n² - 6n-9

                             = 2n² - 2n - 5 

 

Est ce que j'ai bien débuté ou j'ai faux ??

 

[Dada69]

Il y a 11 heures, Dada69 a dit :

il suffit de montrer que 3*(n+2)²  (n+3)²

Pour cela il faut étudier le signe de 3*(n+2)² - (n+3)² 

3*(n+2)² - (n+3)² = 3 x (n²+4n + 4) - n²-6n-9

                             = 3n² + 12n + 12 - n² - 6n-9

                             = 2n²  + 6n + 3 

j'ai recorrigé 

Est ce que j'ai bien débuté ou j'ai faux ??

 

j'ai recorrigé 

 

[julesx]

Oui, tu as bien débuté, il ne reste plus qu'à voir que 2n²+6n+3 est forcément positif puisque n l'est (a fortiori pour n≥3).

[Dada69]

j'ai continué :

2n² + 6n +3 : C'est un polynôme de degré deux, de discriminant  ∆= 12             a= 2, b= 6, c= 3 

x₁= -b+√∆ / 2a                        x₂= -b-√∆ / 2a

   =  (-6+√12) / 4                         = (-6-√12) / 4

 x₁  = -0.63                                  = -2.36  

 

Après je suis bloqué 

 

[julesx]

Ton calcul est inutile, ce qu'il suffit de voir, c'est que n>0 => 2n²+6n+3>0, donc que 3*(n+2)² (n+3)².

Comme 3ⁿ⁺¹3*(n+2)² et que 3*(n+2)²  (n+3)², on a bien 3ⁿ⁺¹(n+3)². On prouve donc que P(n+1) est vérifiée.

[Dada69]

Ok, je vous remercie pour le temps que vous avez pris pour m'aider 

 

[julesx]

De rien, bonne continuation.