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Hérédité


Dada69
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Bonjour, je bloque sur cette exercice ( Question b) . Si quelqu'un pouvait m'aider.Merci d'avance pour votre aide :

1. Soit n un entier naturel. On considère la proposition P(n): 3^n ≥ (n+2)²

b. Hérédité : on suppose qu'il existe un entier n ≥ 3 tel que P(n) est vraie. Exprimer alors l'inégalité P(n+1) que l'on doit prouver.


 

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  • E-Bahut

Si je prends l'énoncé au pied de la lettre, c'est tout ce qu'il faut écrire. Bien sûr, si l'énoncé sous-entend qu'il faut prouver l'hérédité, il faut aller plus loin.
On part donc de P(n)
3n≥(n+2)²
or 3n+1=3*3n donc3n+1 ≥3*(n+2)²
3*(n+2)²=3n²+12n+12=2n²+6n+3+(n+3)²
Comme 2n²+6n+3 est forcément positif, on a 3*(n+2)²>(n+3)².

Tu regardes si tu peux terminer...

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il suffit de montrer que 3*(n+2)>= (n+3)2

Pour cela il faut étudier le signe de 3*(n+2)2 - (n+3)2 

3*(n+2)2 - (n+3)= 3 x n2+4n + 4 - n2-6n-9

                             = 3n2 + 4n + 4 - n2 - 6n-9

                             = 2n- 2n - 5 

 

Est ce que j'ai bien débuté ou j'ai faux ??

 

 
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Il y a 11 heures, Dada69 a dit :

il suffit de montrer que 3*(n+2)>= (n+3)2

Pour cela il faut étudier le signe de 3*(n+2)2 - (n+3)2 

3*(n+2)2 - (n+3)= 3 x (n2+4n + 4) - n2-6n-9

                             = 3n2 + 12n + 12 - n2 - 6n-9

                             = 2n2  + 6n + 3 

j'ai recorrigé 

Est ce que j'ai bien débuté ou j'ai faux ??

 

 

j'ai recorrigé 

 

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j'ai continué :

2n2 + 6n +3 : C'est un polynôme de degré deux, de discriminant  ∆= 12             a= 2, b= 6, c= 3 

x1= -b+√∆ / 2a                        x2= -b-√∆ / 2a

   =  (-6+√12) / 4                         = (-6-√12) / 4

 x1  = -0.63                                  = -2.36  

 

Après je suis bloqué 

 

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