URGENT devoir maison de maths sur les nombres complexes

[Invité]

Bonsoir, j'ai un devoir de maths pour demain mais j'ai du mal à le comprendre et le faire, j'aimerais bien avoir un petit peu d'aide
Exercice n°1 : On considère le nombre complexe z = a + 2i avec a un nombre réel. Déterminer a pour que z^2 soit imaginaire pur.
Exercice n°2 : Pour tout nombre complexe z = x + iy, on associe le complexe Z = z^2 - 2iz +2. (attention, il y'a z minuscule et Z majuscule)
1) Ecrire Z sous forme algébrique en fonction de x et de y.
2) Si z est un imaginaire pur, montrer que Z est réel.
3) La réciproque est-elle vraie ?
4) Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tel que Z soit réel.
Exercice n° 3: Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n⩾1:z^n(barre)=z(barre)^n

(barre signifie conjugué)
Voilà voilà merci d'avance de votre aide

Si besoin le sujet est en pièce jointe

[julesx]

Bonsoir,

Des débuts pour chaque exercice...

Exercice 1 :
z=a+2i => z²=a²-4+4ai
z² imaginaire pour => a-4=0 donc a=?

Exercice 2 :
1) Z=x²-y²+2ixy-2ix+2y+2=...
2) z imaginaire pur => x=0 donc Z=...
3) Réciproque Z réel => x=0 ou y=1 donc...
4) Z réel => 2*x*(y-1)=0...

Exercice 3 :
Il faut surtout employer la propriété "le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués".
Hérédité
conj(zⁿ)=conj(z)ⁿ
conj(zⁿ⁺¹)=conj(zⁿ*z)=conj(zⁿ)*conj(z)=conj(z)ⁿ*conj(z)=conj(z)ⁿ⁺¹

A toi de vérifier mes calculs, de rectifier au besoin, puis de compléter. Moi, je me déconnecte.

[Invité]

merci beaucoup pour votre aide cela m'a grandement aidé, je vous en suis reconnaissant.

Et encore désolé j'avais complétement oublié de vous répondre.

Bonne soirée

[julesx]

Bonjour,

OK, tu es pardonné !