Primitive de 1/x

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question : on dit qu'une primitive de 1/x est :   . Mais si je prends x = -6 , ln(6) n'est pas une primitive de 1/(-6) !

Où est l'erreur ?

Merci d'avance pour vos réponses !

[Michael B.]

Bonjour,

In est défini entre 0 et l'infini, voilà pourquoi ça ne fonctionne pas

[C8H10N4O2]

Je sais bien , d'où le fait que la formule donne le logarithme de la valeur absolue de x comme étant une primitive de 1/x avec x < 0. 

Mais avec un exemple concret x = -6 , ça ne fonctionne pas, donc je me demande où est l'erreur...

[Black Jack]

Il y a 12 heures, C8H10N4O2 a dit :

Bonjour à tous,

J'ai une petite question : on dit qu'une primitive de 1/x est :   . Mais si je prends x = -6 , ln(6) n'est pas une primitive de 1/(-6) !

Où est l'erreur ?

Merci d'avance pour vos réponses !

Bonjour,

 

" ln(6) n'est pas une primitive de 1/(-6)"

Cà c'est une évidence.
ln(6) est une constante et donc sa dérivée est nulle.

Par contre, on a bien F(x) = ln|x| est une primitive de f(x) = 1/x (pour x différent de 0)

démo:

Avec f(x) = 1/x pour tout x différent de 0:

a) si x < 0, alors |x| = -x
F(x) = ln|x| = ln(-x)
F'(x) = -1/(-x) = 1/x 
On a donc bien F'(x) = f(x) pour x < 0  (1)

b) si x >  0, alors |x| = x
F(x) = ln|x| = ln(x)
F'(x) = 1/x 
On a donc bien F'(x) = f(x) pour x > 0  (2)

(1) et (2) --->  F(x) = ln|x| est une primitive de f(x) = 1/x (pour x différent de 0)
*************

Attention que si on veut toutes les primitives de f(x) = 1/x pour x réel différent de 0, ajouter une simple constante à ln|x| n'est pas suffisant

En effet, le domaine de définition de f(x) n'est pas connexe (pas en un seul "morceau") puisque f(x) n'existe pas en x = 0

Si on veut toutes les primitives F(x) de f(x) = 1/x, on doit écrire :

F(x) = ln|x| + k1 pour x > 0
F(x) = ln|x| + k2 pour x < 0

ou si on veut :

F(x) = ln(x) + k1 pour x > 0
F(x) = ln(-x) + k2 pour x < 0

k1 et k2 étant des constantes réelles quelconques.
 

OK ?

 

 

[C8H10N4O2]

La démonstration est limpide, merci ! 😀

Mais alors pourquoi ça ne "fonctionne pas" avec une valeur arbitraire de x non-nulle, par exemple -6 ? 🤔

Modifié le 22 avril 2021 par C8H10N4O2

[Black Jack]

Il y a 5 heures, C8H10N4O2 a dit :

La démonstration est limpide, merci ! 😀

Mais alors pourquoi ça ne "fonctionne pas" avec une valeur arbitraire de x non-nulle, par exemple -6 ? 🤔

 

[Black Jack]

Mais cela fonctionne.

C'est ton raisonnement qui est foireux.

Tu confonds 2 choses:

On a F(x) = ln|x| est une primitive de f(x) = 1/x (pour tout x réel différent de -6)

et on a bien F'(x) = f(x) (si x est différent de 0) ... donc aussi pour x = -6

Avec f(x) = 1/x on a f(-6) = 1/(-6) et F(-6) = ln|-6| = ln(6)

Mais quand tu as remplacé la variable (x) par une valeur numérique ... par exemple avec x = -6, f(-6) et F(-6) sont des valeurs numériques constantes, dériver F(-6) pour retrouver f(-6) ne peut pas se faire, la dérivée d'une constante est forcément nulle.

Ne pas confondre : F'(-6) et (F(-6))' 

F'(-6) est la valeur NUMERIQUE que prend F'(x) lorsque x = -6

alors que (F(-6))' est la dérivée de F(-6) qui est une constante (et donc  (F(-6))' = 0)

****************

Ceci est vrai pour n'importe quelle fonction.

Par exemple : f(x) = x ---> F(x) = x²/2 (pour tout x de R)

et on vérifie facilement que F'(x) = f(x) ... 

Mais dès qu'on remplace x par une valeur numérique, par exemple x = 1, f(1) et F(1) ne sont plus des fonctions mais bien des valeurs numériques constantes.

 f(1) = 1

F(1) = 1²/2 = 1/2

Et si on calcule la dérivée de F(1) = 1/2, on trouve 0 qui n'est pas f(1)

-------

Donc : "" ln(6) n'est pas une primitive de 1/(-6)""

Par contre ,si on choisit F(x) = ln|x| comme primitive de  f(x) = 1/x , alors on a  F(6) = ln(6) est la valeur de la primitive choisie de f(x) pour x = -6

F(6) = ln(6) n'est pas une primitive ... c'est la valeur numérique que prend la primitive considérée en x = -6

Tu vois la nuance ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[C8H10N4O2]

Merci, c'est maintenant plus clair ! 🙂