Position relative des plans pi1 et pi 2 exo 3)

[MrX]

Bonsoir,
Dans l'exercice 3 je rencontre de la difficulté pour la lettre c).
Voici l'énoncé : Déterminer la position relative des plans pi 1 et pi 2suivants, et une équation vectorielle de la droite D d'intersection si les plans sont sécants.
c) 
pi 1: x=3-2k1+3k2
          y= -2+4k1+k2, où k1 et k2 sont des ensembles réel 
          z=1+5k1+3k2
 pi 2: plan qui passe par les points A(4,-1,2) , B(-9,4,3) et C (3,2,6)
Voici ma démarche :
Pi 1 : P(P pour point) (3,-2,1)
n(pour vecteur normal 1) (-2,4,5) x (3,1,3) = (7,21,-14) (donne ce résultat parce que j'ai fais le produit vectoriel.
n2(vecteur normal 2 pour le plan pi 2) Vecteur AB x Vecteur AC = (-13,5,1) x (-1,3,4) = (17,51,-34)
Preuve qui sont parallèles 
n1= 7/17n2,n1 est parallèle à n2 et pi 1 est parallèle à pi 2
Suite de ma démarche
A(4,-1,2) appartient à pi 2 donc
4= 3-2k1+3k2
-1=-2+4k1+k2
2=1+51+3k2
Méthode de Gauss:
2 3  1
4 1   1
5 3    1

2 3  1
0 -7 -3 (L2-2L1)
0 -9 -7 (2L3-5L1)
Après avoir fait ca je suis coincer pour répondre à la question correctement.
Merci de votre aide.

[julesx]

Bonjour,

Je suppose qu'après avoir montré que les plans sont parallèles, tu veux montrer qu'ils ne sont pas confondus. Dans ce but, tu considère le point A du plan П2 et tu veux vérifier qu'il n'appartient pas au plan П1. Si ce n'est pas ça, précise peut-être où tu veux en venir.

Sinon, si je te suis, tu regardes si les coordonnées de A vérifient l'équation paramétrique du plan П1. Le problème, c'est que ta démarche n'est pas correcte.

4= 3-2k1+3k2
-1=-2+4k1+k2
2=1+51+3k2

=>

1=-2k1+3k2
1=4k1+k2
1=5k1+3k2

qui est un système de 3 équations à 2 inconnues, donc qui ne se résous pas comme tu as commencé.

En fait, dans ce cas, si tu ne vois pas immédiatement qu'une des équation au moins est multiple d'une des autres, tu résous par exemple le système formé par deux équations et tu regardes si la solution trouvée vérifie la troisième. Si ce n'est pas le cas, A n'appartient pas à П1 et les deux plans ne sont pas confondus.

 

Cela dit, comme tu  as un vecteur directeur de П1, tu peux trouver facilement son équation cartésienne et regarder si les coordonnées de A la vérifient.

 

[MrX]

Bonjour Julesx

Suite a votre commentaire j'ai pensé a faire ceci

Point A(4,-1,2)

1=-2(4)+3(-1)+0(2)=-11

1= 4(4)+(-1)+0(2) =15

1=5(4)+3(-1)+0(2)=17

Le corrigé dit que la deuxième ligne = -1=-2+4k1+k2 n'a aucune solution.

Est ce parce que ca nous donne 15?

Merci de votre aide.

[julesx]

Personnellement, je ne comprends pas comment tu aboutis à cela

1=-2(4)+3(-1)+0(2)=-11

1= 4(4)+(-1)+0(2) =15

1=5(4)+3(-1)+0(2)=17

A priori, tu cherches des valeurs de k1 et de k2 et là, tu les parachutes.

Quant au corrigé, sans l'avoir in extenso et bien détaillé, je ne peux rien te répondre.

Cela dit, pour moi, en reprenant mes équations

1=-2k1+3k2 (1)
1=4k1+k2 (2)
1=5k1+3k2 (3)

(1)+(3) => k1=0 et k2=1/3 incompatible avec (2). Donc A ne peut pas appartenir au plan П1.

 

 

[MrX]

Bonjour Julesx,

Voici l'énoncé tel quel du 3) 

Déterminer la position relative des plans pi 1 et pi 2suivants, et une équation vectorielle de la droite D d'intersection si les plans sont sécants.

c) pi 1 : x=3-2k1+3k2

             y=-2+4k1+k2,  où k1 et k2 appartiennent à l'ensemble des nombres réels 

           z=1+5k1+3k2

pi 2 : plan qui passe par les points A(4,-1,2) B(-9,4,3) et C (3,2,6)

Voici ma démarche :
Pi 1 : P(P pour point) (3,-2,1)
n(pour vecteur normal 1) (-2,4,5) x (3,1,3) = (7,21,-14) (donne ce résultat parce que j'ai fais le produit vectoriel.
n2(vecteur normal 2 pour le plan pi 2) Vecteur AB x Vecteur AC = (-13,5,1) x (-1,3,4) = (17,51,-34)
Preuve qui sont parallèles 
n1= 7/17n2,n1 est parallèle à n2 et pi 1 est parallèle à pi 2
Suite de ma démarche
A(4,-1,2) appartient à pi 2 donc
4= 3-2k1+3k2
-1=-2+4k1+k2
2=1+51+3k2

Rendu ici avec le point a qu'on nous donne dans le plan pi2 A(4,-1,2) A(x,y,z)

1=-2(4)+3(-1)+0(2)=-11

1= 4(4)+(-1)+0(2) =15

1=5(4)+3(-1)+0(2)=17

J'ai fais ca parce que je remplace les valeurs du point a dans l'équation paramétrique.

 

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Personnellement, je ne comprends pas comment tu aboutis à cela

1=-2(4)+3(-1)+0(2)=-11

1= 4(4)+(-1)+0(2) =15

1=5(4)+3(-1)+0(2)=17

A priori, tu cherches des valeurs de k1 et de k2 et là, tu les parachutes.

Quant au corrigé, sans l'avoir in extenso et bien détaillé, je ne peux rien te répondre.

Cela dit, pour moi, en reprenant mes équations

1=-2k1+3k2 (1)
1=4k1+k2 (2)
1=5k1+3k2 (3)

(1)+(3) => k1=0 et k2=1/3 incompatible avec (2). Donc A ne peut pas appartenir au plan П1.

 

 

Bonjour Julesx,

Comment avez-vous fait pour trouver que k1=0 et k2=1/3 

Je n'ai pas compris.

Merci de votre aide

[julesx]

Il y a 1 heure, MrX a dit :

J'ai fais ca parce que je remplace les valeurs du point a dans l'équation paramétrique.

Mais tu ne connais pas les coefficients k1 et k2 de l'équation paramétrique, c'est justement ceux-là que tu cherches.

Quant à trouver k1 et k2, c'est élémentaire, tu ne sais pas résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?

1=-2k1+3k2 (1)
1=5k1+3k2 (3)

n'importe quelle méthode convient, le plus simple ici est la méthode par soustraction :

(3)-(1)=> 0=7k1 donc k1=0 qui reporté dans une des équation, donne k2=1/3.