nombres puissants

[anon12548]

Bonsoir,

j'ai un problème, je dois prouver que les carrés parfaits sont des nombres puissants.

 

Mais ce n'est pas tout, je dois résoudre cet exercice:

 

[julesx]

Un carré est de la forme p² avec p entier. 2 cas sont possibles :

* p est premier, donc p² est un nombre puissant puisque n est diviisble par p² avec p premier

* p n'est pas premier, donc p est décomposable en produit de nombres premiers de la forme p1^n1*p2^n2*....pn^nn avec ni pair et supérieur ou égal à 1. Le carré de cette décomposition est donc divisible par les pi premiers de puissance au moins égal à 2. Par définition... Je te laisse terminer.

 

Pour la question 4, la démonstration est du même style.  Si un des i n'est pas supérieur ou égal à 2, il existe un pi dont le carré n'est pas un diviseur de n...

Cela dit, je me me déconnecte. Si nécessaire, merci à un autre intervenant de prendre le relais.

[julesx]

Si c'est encore d'actualité...

J'ai été un peu vite hier soir, il aurait fallu lire pour le deuxième cas

* p n'est pas premier, donc p est décomposable en produit de nombres premiers de la forme p1^n1*p2^n2*....pn^nn avec ni supérieur ou égal à 1.
Le nombre de départ n, égal au carré de cette décomposition est donc de la forme p1^2n1*p2^2n2*....pn^2nn, il est donc divisible par tous les pi premiers de puissance au moins égal à 2.
Par définition... Je te laisse terminer.