Physique prépa électricité (grande aide)

[Lola1234]

 

On étudie le circuit de la figure 4 ci-dessus.
Données : R1 = 50 Ω, R2 = 5,00 kΩ, C = 100 nF, E = 10V
K
Figure 4
  Initialement le circuit est ouvert, le condensateur est déchargé et aucun courant ne circule. A l’instant t = 0 on ferme l’interrupteur K.
I- Détermination des conditions initiales et finales
1) Déterminer, en les justifiant soigneusement (= justifier les modèles équivalents si vous en utilisez) et « sans » calculs (= sans chercher à résoudre d’équations différentielles), les expressions littérales puis les valeurs de uc(0+), uL(0+), u1(0+), u2(0+), i1(0+), i2(0+) et i(0+) juste après la fermeture de K.
2) Déterminer, en les justifiant soigneusement (idem 1), les expressions littérales puis les valeurs de uc(∞), uL(∞), u1(∞), u2(∞), i1(∞), i2(∞) et i(∞) lorsque le régime permanent continu est atteint.
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II- Détermination et résolution de l’équation différentielles vérifiée par Uc(t)
3) Démontrer que uc(t) vérifie l’équation différentielle :
????(?)+ ( ? +??)???(?)+(??+??)??(?)=(?).? ??? ??? ? ?? ???? ??
4) Ecrire l’équation différentielle sous la forme
????(?) + ?? ???(?) + ??? (?) = ??? (∞) ??? ??? ?? ??
en déterminant les expressions de ? et de ?0. Quelles grandeurs désignent les notations ? et ?0 ?
III- Q > ? - Analyse de courbe
?
5) Dans le cas où Q > 1, à quel type de régime transitoire a-t-on affaire ? Démontrer ce résultat en calculant 2
le discriminant de l’équation caractéristique, à indiquer, en fonction de Q et w0.
6) On admet qu’une telle équation a pour solution :
??(?) = [? ???(??) + ? ???(??)] ??? (− ?) + ??(∞) ?
a) Comment se nomme w ? Déterminer, en la justifiant, son expression littérale en fonction de w0 et Q.
b) Déterminer, en la justifiant, l’expression littérale de ? en fonction de w0 et Q.
On obtient la trajectoire de phase ci-dessous, tracée pour ? ≥ 0 :
Figure 5
7) Rappeler la définition de la pseudo-période T puis déterminer sa valeur grâce au graphe ci-dessus sachant que deux marqueurs ( ) consécutifs sont séparés de 175 ??.
? Dessiner proprement et rigoureusement l’allure de la courbe uc(t) en prenant soin d’indiquer les valeurs précises en abscisse et en ordonnée.
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? = 1 ?? ( ?? (?) − ?????? ???????????? ) ? ??(? + ??) − ?????? ????????????
  9) Soit le décrément logarithmique, δ, dont la formule est rappelée dans le cadre gris ci-contre (avec ? un nombre entier de périodes).
a) Après avoir indiqué la valeur de ? choisie,
déterminer δ grâce à la trajectoire de phase.
b) Démontrer que ? = ?.
?
c) En déduire la valeur de τ.
d) Déterminer la valeur numérique de L.

[julesx]

Bonjour,

Il faut absolument fournir le document allant avec l'exercice. Par contre, si c'est un fichier .docx, transforme-le en .pdf car tout le monde n'a pas le traitement de texte correspond et ces fichiers ne sont pas toujours ouverts correctement par les logiciels libres alternatifs.

[julesx]

J'espère que tu as trouvé ton bonheur ailleurs, car ici, comme tu n'as pas donné suite, personne n'a pu t'aider.

[Lola1234]

Il y a 8 heures, julesx a dit :

J'espère que tu as trouvé ton bonheur ailleurs, car ici, comme tu n'as pas donné suite, personne n'a pu t'aider.

Oui excusez moi j'ai eu du mal à faire passer en bon format et à insérer dans le site.

physique.pdf

[julesx]

OK, donc, un peu d'aide pour commencer.

I)1) Initialement :

C déchargé => uc(0+)=0 pas de de discontinuité de la tension aux bornes d'un condensateur

K ouvert avant => i(0+)=0 pas de discontinuité du courant dans une inductance

u1(0+)=R1*i(0+)=.

u2(0+)=R1*i(0+)=0

E=uL(0+)+u2(0+)+uc(0+) => uL(0+)=E

i2(0+)=uc(0+)/R2=0

i1(0+)=i(0+)-i2(0+)=0

2) En régime permanent :

C est chargé =>  i1(∞)=0

i(t) est constant => uL(∞)=0

E, R1 et R2 se comporte comme un diviseur à vide => u2(∞)=uc(∞)=R2/(R1+R2)*E

i(∞)=E/(R1+R2)

u1(∞)=R1*i(∞)=r1/(R1+R2)*E

i2(∞)=i(∞)=E/(R1+R2)

II)3) Dans le circuit, on a les relations suivantes :

E=L*di/dt+R1*i+uc

i=uc/R2+C*duc/dt

d'où

E=L/R2*d(uc)/dt+L*C*d²(uc)/dt²+R1/R2*uc+R1*C*d(uc)/dt+uc

soit

L*C*d²(uc)/dt²+(L/R2+R1*C)*d(uc)/dt+(R1+R2)/R2*uc=E

qu'il suffit de diviser par L*C à gauche et à droite pour obtenir la relation de l'énoncé.

4) Par identification :

ωo/Q=1/(R2*C)+R1/L

ωo²=(R1+R2)/(R2*L*C)

ωo²*uc(∞)=1/(L*C)*E

Je te laisse trouver ωo, Q et vérifier que tu retrouves uc(∞) déterminé au 2).

 

C'est tout pour le moment. Regarde tout ça et corrige mes éventuelles erreurs de frappe ou de transcription.

[julesx]

Juste un mot pour te dire que je suis évidemment à ta disposition pour la suite, mais j'attends déjà tes réactions à la première partie avant de me lancer dans la rédaction.

Bonsoir et à demain, éventuellement.

[Lola1234]

Il y a 5 heures, julesx a dit :

Juste un mot pour te dire que je suis évidemment à ta disposition pour la suite, mais j'attends déjà tes réactions à la première partie avant de me lancer dans la rédaction.

Bonsoir et à demain, éventuellement.

Bonjour, merci beaucoup pour l’aide. J’ai essayer de refaire tout ça mais pouvez expliquer plus en détails comment vous trouvez uc(∞), et pour w0 c’est normal de trouver un terme en fonction de R1 R2 et RLC sous une racine? Et pour Q je n’y arrive pas.

[julesx]

Vite fait, vu l'heure !

* Pour uc(∞) :

Le condensateur est chargé, donc uc(∞) est constant, donc i2=C*duc(∞)/dt est nul.

i1=uc(∞)/R2 est également constant, donc i=12+i1 est constant.

Il s'ensuit que L*di/dt est nul. On a donc E=R1*i+uc(∞) avec i=i1=uc(∞)/R2 d'où, après remplacement et arrangement uc(∞)=R2/(R1+R2)*E.

* Pour ωo on a bien ce que tu as trouvé, soit ωo=√[(R1+R2)/(R2*L*C)]. Il n'y a pas de problème de dimension, (R1+R2)/R2 est sans dimension et 1/√(L*C) a la dimension dr'une pulsation.

* Pour Q, on part de  ωo/Q=1/(R2*C)+R1/L d'où Q=ωo/[1/(R2*C)+R1/L]=√[(R1+R2)/(R2*L*C)]/[1/(R2*C)+R1/L] qu'on peut arranger sous la forme √[(R1+R2)/R2]*√(L*C)/(L/R2+R1*C).

 

[Lola1234]

Il y a 17 heures, julesx a dit :

Vite fait, vu l'heure !

* Pour uc(∞) :

Le condensateur est chargé, donc uc(∞) est constant, donc i2=C*duc(∞)/dt est nul.

i1=uc(∞)/R2 est également constant, donc i=12+i1 est constant.

Il s'ensuit que L*di/dt est nul. On a donc E=R1*i+uc(∞) avec i=i1=uc(∞)/R2 d'où, après remplacement et arrangement uc(∞)=R2/(R1+R2)*E.

* Pour ωo on a bien ce que tu as trouvé, soit ωo=√[(R1+R2)/(R2*L*C)]. Il n'y a pas de problème de dimension, (R1+R2)/R2 est sans dimension et 1/√(L*C) a la dimension dr'une pulsation.

* Pour Q, on part de  ωo/Q=1/(R2*C)+R1/L d'où Q=ωo/[1/(R2*C)+R1/L]=√[(R1+R2)/(R2*L*C)]/[1/(R2*C)+R1/L] qu'on peut arranger sous la forme √[(R1+R2)/R2]*√(L*C)/(L/R2+R1*C).

 

Merci beaucoup. Je sollicite votre aide également pour la suite de l’exercice surtout à partir de la question 6). Si possible bien évidemment sinon ce n’est pas grave vous m’avez été d’une grande aide.

[julesx]

Pas de problème, vérifie simplement mes réponses !

Je suppose que c'est bon pour la question 5 puisque tu n'en parles pas.

6) Rappel, les racines du polynôme caractéristique sont [-ω₀/Q±iω₀√(4-1/Q²)]/2

a) ω est la pulsation propre (terme trouvé sur la toile, mais vous l'appelez peut-être autrement).

ω est la partie imaginaire des racines de l'équation caractéristique, donc ω=ω₀√(1-1/4Q²).

b) τ est égal à -1/(partie réelle des racines), soit τ=2Q/ω₀

7) La pseudo-période est définie par T=2π/ω.

Deux marqueurs consécutifs sont séparés par une demi-période (passage d'un maximum de uc à un minimum), donc T=2*175 µs=350 µs.

8)) Pour info, je te joins un tracé, fait par simulation avec les valeurs des composants. N'oublie pas de faire figurer sur ton tracé les intervalles correspondant à T ainsi que les maximas et minimas que tu détermines sur le diagramme de phase.

9)a) Si on considère les maximas successifs, il faut se limiter à n=3.

Je pense que tu pourras affiner un peu les mesures sur le document initial, moi, je suis parti sur les valeurs suivantes :

n° maximum 1 2 3 4

uc 17 14 12 11

uc(∞)=5000/(5000+50)*10=9,9 V

donc δ=1/3*ln[(17-9,9)/(11-9,9)]=0,62 (vu la précision de lecture, je pense qu'on peut se contenter de 2 chiffres après la virgule).

b) uc(t)=[Acos(ωt)+Bsin(ωt)]*e^-t/τ+uc(∞)

Au bout d'une période, on retrouve les mêmes valeurs du sinus et du cosinus), donc on a

uc(t+T)=[Acos(ωt)+Bsin(ωt)]*e^-(t+T)/τ+uc(∞)

Tu passes uc(∞) à gauche dans chacune des relations, tu fais le rapport, tu simplifies et tu prends le logarithme pour terminer. Je te laisse quand même travailler un peu !

c) δ=T/τ=> τ=T/δ=350/0,62 en µs.

d) τ=2Q/ω₀=2/[1/(R2*C)+R1/L]  où tu connais toutes les valeurs sauf L qu'il n'y a plus qu'à en tirer.