Probabilités à loi de densité

[SINGED 32]

Bonjour j'ai un exo sur les probabilités à loi de densité que j'arrive à moitié, l'énoncé:

Lucie se rend à l’université en vélo (à vitesse constante). Le trajet dure alors 20 minutes. Certains jours
(en moyenne, 1 jour sur 5), elle s’aperçoit, après être partie, qu’elle a oublié quelque chose. Si c’est le
cas, elle s’en rend compte après T minutes où T suit la loi uniforme sur [0 ; 20], elle fait alors immédiatement
demi-tour, rentre chez elle (à la même vitesse qu’à l’aller), elle prend ce qu’elle a oublié
(1 minute pour cela) et repart cette fois-ci en voiture pour aller plus vite. Elle arrive alors à l’université 10
minutes plus tard.
On note A l’événement : « Lucie s’aperçoit qu’elle a oublié quelque chose » et D la variable aléatoire égale
au temps mis par l’étudiante pour se rendre à l’université.
1. Considérons les jours où Lucie s’est aperçu qu’elle avait oublié quelque chose. La variable aléatoire X
représente la durée totale du trajet (en minutes).
a. Montrer que : X = 2T + 11.
b. Montrer que : P (a ≤ X ≤b ) =P(a-11/2<T<b-11/2). En déduire que X suit une loi uniforme sur un intervalle
2. Ce matin, Lucie se rend à l’université.
a. Montrer que P (D = 20) = 0,8.
(on pourra écrire : P (D = 20) =P (A)×P (X = 20)+P (A)×PA (D = 20) ).
b. La variable aléatoire D suit-elle une loi à densité (ou loi continue) ?
c. Déterminer P (D 30).
3. Un matin, Lucie s’est rendue à l’université en moins d’une demi-heure. Quelle est la probabilité qu’elle
ait dû faire demi-tour ce matin-là parce qu’elle avait oublié quelque chose ?

 

ce que j'ai fait:

1)a)Soit X qui représente la durée du trajet les jours où Lucie a oublié quelque chose.

D'après l'énoncé le temps d'aller retour pour chercher l'objet oublié vaut 2T, un T pour l'aller et un T pour le retour.

Ensuite le temps de chercher l'objet est de 1 minute et le temps pour re aller a l'université en voiture est de 10 minutes, en tout 11 minutes.

Finalement on se rend compte que X=2T+11

b)P(a<X<b)= P(a<2T+11<b)

Alors par inégalité sur les inéquations:

P(a<2T+11<b)= P(a-11<2T<b-11)= P((a-11)/2<T<(b-11)/2)

On sait que T suit une loi uniforme sur [0;20].

Donc pour que P((a-11)/2<T<(b-11)/2)= P(0<T<20)

a-11=0 et (b-11)/2=20

a=11 b=51

Or si X suit une loi uniforme sur [11;51] alors sa fonction de densité f(x)=1/(b-a) et ∫a;b f(x) dx=1

Dans notre cas:

f(x)=(1/51-11)=1/40

Et ∫11;51 1/40 = l*L = (1/40)*40 = 1

Ainsi X suit une loi uniforme sur [11;51]

2)a)Si on cherche P(D=20) on cherche le temps d'aller à l'université les jours avec oublie et les jours sans oublié. _ _

Du coup P(D=20)=P(A)*P(X=20)+P(A)*PA (D=20)

=(1/5)*0+(4/5)*1

=4/5= 0,8

On retrouve bien le même résultat.

 

HELP PLS

[Barbidoux]

 

[SINGED 32]

thx barbidoux

[Sumeru]

Bonjour,

Pour la question 2/a je n'arrive pas à comprendre pourquoi dans le calcul P(X=20)=0 . Si quelqu'un peut m'aider, Merci

[Barbidoux]

[Sumeru]

merci bien, même si j'avais trouvé entre temps ?